Bài 3

Cho

n

là số nguyên dương và

a_1,a_2,\ldots,a_n

là các số thực dương. Chứng minh rằng

\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{2^i}\left(\frac{2}{1+a_i}\right)^{2^i}\ge\frac{2}{1+a_1a_2\cdots a_n}-\frac{1}{2^n}.

Bước 1 trên 5: Phát biểu lại bất đẳng thức

Bước trước Bước tiếp

A_k(x)=\frac{1}{2^k}\left(\frac{2}{1+x}\right)^{2^k},\qquad\sum_{i=1}^nA_i(a_i)\ge A_0(a_1a_2\cdots a_n)-\frac{1}{2^n}

Phân tích chi tiết

Đặt $A_k(x)=\frac{1}{2^k}\left(\frac{2}{1+x}\right)^{2^k}$ với $k\ge0$ , khi đó $A_0(x)=\frac{2}{1+x}$ . Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành $\sum_{i=1}^nA_i(a_i)\ge A_0(a_1a_2\cdots a_n)-\frac{1}{2^n}$ .