Bài 3

Cho

P(x)

là đa thức không hằng với hệ số nguyên sao cho

P(0)\neq0

. Cho

a_1,a_2,a_3,\ldots

là một dãy số nguyên vô hạn sao cho

P(i-j)

chia hết

a_i-a_j

với mọi số nguyên dương phân biệt

i,j

. Chứng minh rằng dãy

a_1,a_2,a_3,\ldots

phải là hằng số, tức là

a_n

bằng một hằng số

c

với mọi số nguyên dương

n

Bước 1 trên 5: Chặn ước chung lớn nhất của P(k) và k

Bước trước Bước tiếp

\gcd(P(k),k)=\gcd(a_0,k)\le|a_0|,\qquad a_0=P(0)

Phân tích chi tiết

Gọi $a_0=P(0)\neq0$ là hệ số tự do của $P$ . Vì $P$ có hệ số nguyên, $P(k)-a_0$ chia hết cho $k$ , nên $\gcd(P(k),k)=\gcd(a_0,k)\le|a_0|$ với mọi số nguyên dương $k$ .