Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2025

Đề thi

Bài 1Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $\Gamma$ . Gọi $A_1$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $BC$ , sao cho $AA_1$ là đường cao. Gọi $B_1$ và $C_1$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A_1$ lên $AB$ và $AC$ . Điểm $P$ sao cho tứ giác $AB_1PC_1$ là tứ giác lồi và có cùng diện tích với tam giác $ABC$ . Có thể xảy ra trường hợp $P$ nằm hẳn bên trong đường tròn $\Gamma$ hay không? Hãy giải thích câu trả lời của bạn.Các cách giải: 1
Bài 2Cho $\alpha$ và $\beta$ là các số thực dương. Emerald thực hiện một chuyến đi trong mặt phẳng tọa độ, xuất phát từ gốc $(0,0)$ . Mỗi phút cô di chuyển một đơn vị lên trên hoặc một đơn vị sang phải, giới hạn trong miền $|x-y|<2025$ của mặt phẳng tọa độ. Khi đến một điểm $(x,y)$ , cô ghi số nguyên $\lfloor x\alpha+y\beta\rfloor$ lên đó. Hóa ra Emerald đã ghi mỗi số nguyên không âm đúng một lần. Tìm tất cả các cặp $(\alpha,\beta)$ để chuyến đi như vậy là có thể.Các cách giải: 1
Bài 3Cho $P(x)$ là đa thức không hằng với hệ số nguyên sao cho $P(0)\neq0$ . Cho $a_1,a_2,a_3,\ldots$ là một dãy số nguyên vô hạn sao cho $P(i-j)$ chia hết $a_i-a_j$ với mọi số nguyên dương phân biệt $i,j$ . Chứng minh rằng dãy $a_1,a_2,a_3,\ldots$ phải là hằng số, tức là $a_n$ bằng một hằng số $c$ với mọi số nguyên dương $n$ .Các cách giải: 1
Bài 4Cho $n\ge 3$ là một số nguyên. Có $n$ ô trên một đường tròn, mỗi ô được gán 0 hoặc 1, và một con gà trống đứng trên một ô. Lặp lại quy tắc sau: nếu gà trống đứng trên ô mang số 0, nó đổi số đó thành 1 rồi đi đến ô kế tiếp theo chiều ngược kim đồng hồ; nếu đứng trên ô mang số 1, nó đổi số đó thành 0 rồi đi đến ô cách một ô theo chiều ngược kim đồng hồ. Chứng minh rằng sau đủ nhiều thao tác, mỗi khi gà trống ở ô $C$ , nó đi đúng ba vòng quanh đường tròn rồi dừng lại ở $C$ , đồng thời mọi ô có cùng số như ngay trước ba vòng đó.Các cách giải: 1
Bài 5Xét dãy vô hạn $a_1,a_2,\ldots$ gồm các số nguyên dương sao cho $100!(a_m+a_{m+1}+\cdots+a_n)$ là bội của $a_{n-m+1}a_{n+m}$ với mọi số nguyên dương $m,n$ thỏa $m\le n$ . Chứng minh rằng dãy này hoặc bị chặn hoặc là tuyến tính. Dãy bị chặn nếu tồn tại hằng số $N$ sao cho $a_n<N$ với mọi số nguyên dương $n$ , và là tuyến tính nếu $a_n=n\cdot a_1$ với mọi số nguyên dương $n$ .Các cách giải: 1