Bài 3

Cho

P(x)

là đa thức không hằng với hệ số nguyên sao cho

P(0)\neq0

. Cho

a_1,a_2,a_3,\ldots

là một dãy số nguyên vô hạn sao cho

P(i-j)

chia hết

a_i-a_j

với mọi số nguyên dương phân biệt

i,j

. Chứng minh rằng dãy

a_1,a_2,a_3,\ldots

phải là hằng số, tức là

a_n

bằng một hằng số

c

với mọi số nguyên dương

n

Bước 3 trên 5: Hai chu kỳ của dãy theo modulo p

Bước trước Bước tiếp

P(k)\mid a_{i+k}-a_i,\qquad P(k+p)\equiv P(k)\equiv0\!\!\pmod p\implies p\mid a_{i+k+p}-a_i

Phân tích chi tiết

Với cặp $(p,k)$ như vậy, $P(k)\mid a_{i+k}-a_i$ với mọi $i$ , nên $p\mid a_{i+k}-a_i$ . Vì $(k+p)-k=p$ , đa thức hệ số nguyên thỏa $P(k+p)\equiv P(k)\equiv0\pmod p$ , nên $p\mid P(k+p)$ , từ đó $p\mid a_{i+k+p}-a_i$ với mọi $i$ .