Bài 3

Cho

P(x)

là đa thức không hằng với hệ số nguyên sao cho

P(0)\neq0

. Cho

a_1,a_2,a_3,\ldots

là một dãy số nguyên vô hạn sao cho

P(i-j)

chia hết

a_i-a_j

với mọi số nguyên dương phân biệt

i,j

. Chứng minh rằng dãy

a_1,a_2,a_3,\ldots

phải là hằng số, tức là

a_n

bằng một hằng số

c

với mọi số nguyên dương

n

Bước 4 trên 5: Kết hợp hai chu kỳ

Bước trước Bước tiếp

\gcd(k,k+p)=1\implies p\mid a_{i+1}-a_i\ \text{for every }i

Phân tích chi tiết

Theo Bước 3, dãy $(a_i\bmod p)$ tuần hoàn với các chu kỳ $k$ và $k+p$ . Vì $p\nmid k$ , $\gcd(k,k+p)=\gcd(k,p)=1$ , và một dãy tuần hoàn với hai chu kỳ nguyên tố cùng nhau thì tuần hoàn với ước chung lớn nhất của chúng, bằng $1$ ; tức là $p\mid a_{i+1}-a_i$ với mọi $i$ .