Bài 3

Ký hiệu

\mathbb{R}_+

là tập các số thực dương. Xác định tất cả các hàm số

f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}

sao cho với mọi

x,y,z\in\mathbb{R}_+

|x-y|<|y-z|\ \text{if and only if}\ |f(x)-f(y)|<|f(y)-f(z)|.

Bước 1 trên 5: Kiểm tra hàm bậc nhất thỏa mãn, và rút ra quy tắc khoảng cách bằng nhau

Bước trước Bước tiếp

|x-y|=|z-y| \implies |f(x)-f(y)|=|f(z)-f(y)|

Phân tích chi tiết

Mọi hàm affine $f(x)=ax+b$ với $a\ne0$ hiển nhiên thỏa mãn điều kiện. Ngược lại, giả sử $f$ thỏa mãn điều kiện. Lấy phủ định theo cả hai chiều cho thấy các so sánh khoảng cách nghiêm ngặt được bảo toàn; trường hợp bằng nhau còn lại cho $|x-y|=|z-y|\implies|f(x)-f(y)|=|f(z)-f(y)|$ .