Olympic Toán học Châu Á - Thái Bình Dương · Năm 2026

Đề thi

Bài 1Tìm mọi bộ bốn số nguyên dương $(a, p, m, o)$ với $o \ge 2$ sao cho $a! + p! = m^o + 26$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho $n \ge 2$ là một số nguyên. Gọi $A_1, A_2, \dots, A_{2^n}$ là $2^n$ tập con của một tập có $n$ phần tử, xếp theo thứ tự nào đó. Chứng minh rằng $|A_1\setminus A_2| + |A_2\setminus A_3| + \cdots + |A_{2^n-1}\setminus A_{2^n}| + |A_{2^n}\setminus A_1| \ge 2^{n-2}.$ Các cách giải: 1
Bài 3Ký hiệu $\mathbb{R}_+$ là tập các số thực dương. Xác định tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R}$ sao cho với mọi $x,y,z\in\mathbb{R}_+$ , $|x-y|<|y-z|\ \text{if and only if}\ |f(x)-f(y)|<|f(y)-f(z)|.$ Các cách giải: 1
Bài 4Cho $ABCD$ là một tứ giác có đường tròn nội tiếp $\omega$ tâm $I$ . Hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $E$ . Gọi $J$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$ . Phần kéo dài của tia $EJ$ cắt $\omega$ tại $P$ . Chứng minh rằng $PI\perp BD$ .Các cách giải: 1
Bài 5Cho $n$ là một số nguyên dương. Có $n(n+1)$ phòng được xếp thành một lưới $(n+1)\times n$ . Giữa hai phòng kề nhau có một cửa. Tìm số cách chọn một tập con các cửa và khóa chúng sao cho tồn tại hai phòng $S$ và $G$ thỏa mãn: (i) $S$ ở hàng thứ nhất và $G$ ở hàng thứ $(n+1)$ . (ii) có thể đi từ $S$ đến $G$ chỉ bằng các cửa chưa khóa.Các cách giải: 1