Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1959

Đề thi

Bài 1Chứng minh phân số $\frac{21n+4}{14n+3}$ tối giản với mọi số tự nhiên $n$ .Các cách giải: 1
Bài 2Tìm các giá trị thực của $x$ để $\sqrt{x+\sqrt{2x-1}}+\sqrt{x-\sqrt{2x-1}}=A$ , với (a) $A=\sqrt2$ , (b) $A=1$ , (c) $A=2$ , trong đó căn bậc hai lấy giá trị không âm.Các cách giải: 1
Bài 3Cho $a,b,c$ là các số thực. Xét $a\cos^2x+b\cos x+c=0$ . Dùng $a,b,c$ lập phương trình bậc hai theo $\cos2x$ có cùng các giá trị $x$ làm nghiệm. So sánh các phương trình khi $a=4$ , $b=2$ , $c=-1$ .Các cách giải: 1
Bài 4Dựng một tam giác vuông có cạnh huyền $c$ cho trước sao cho trung tuyến kẻ tới cạnh huyền là trung bình nhân của hai cạnh góc vuông.Các cách giải: 1
Bài 5Chọn điểm tùy ý $M$ trong đoạn $AB$ . Dựng các hình vuông $AMCD$ và $MBEF$ về cùng một phía của $AB$ , có tâm đường tròn ngoại tiếp lần lượt là $P$ và $Q$ . Hai đường tròn ngoại tiếp lại giao nhau tại $N$ . Gọi $N'$ là giao điểm của $AF$ và $BC$ . (a) Chứng minh $N=N'$ . (b) Chứng minh $MN$ đi qua một điểm cố định không phụ thuộc $M$ . (c) Tìm quỹ tích trung điểm của $PQ$ khi $M$ thay đổi.Các cách giải: 1
Bài 6Hai mặt phẳng $P$ và $Q$ cắt nhau theo đường thẳng $p$ . Các điểm $A\in P$ và $C\in Q$ không nằm trên $p$ . Hãy dựng một hình thang cân $ABCD$ có $AB\parallel DC$ , có đường tròn nội tiếp, và các đỉnh $B\in P$ , $D\in Q$ .Các cách giải: 1