MathLabs

Bài 5

Chọn điểm tùy ý MM trong đoạn ABAB. Dựng các hình vuông AMCDAMCD và MBEFMBEF về cùng một phía của ABAB, có tâm đường tròn ngoại tiếp lần lượt là PP và QQ. Hai đường tròn ngoại tiếp lại giao nhau tại NN. Gọi N′N' là giao điểm của AFAF và BCBC. (a) Chứng minh N=N′N=N'. (b) Chứng minh MNMN đi qua một điểm cố định không phụ thuộc MM. (c) Tìm quỹ tích trung điểm của PQPQ khi MM thay đổi.
Bước 1 trên 5: Dùng hai tam giác vuông bằng nhau
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Hai hình vuông biến các phần quanh MM thành hai tam giác vuông bằng nhau.

△AFM≅△CBM⟹∠AN′B=90∘\triangle AFM\cong\triangle CBM\quad\Longrightarrow\quad\angle AN'B=90^\circ
Phân tích chi tiết

Vì AM=CMAM=CM và MB=MFMB=MF, cùng các góc vuông do hình vuông tạo ra, hai tam giác AFMAFM và CBMCBM bằng nhau. Do đó các góc chúng tạo với ABAB bù nhau, và tại N′=AF∩BCN'=AF\cap BC có ∠AN′B=90∘\angle AN'B=90^\circ.