Bài 5

Chọn điểm tùy ý

M

trong đoạn

AB

. Dựng các hình vuông

AMCD

và

MBEF

về cùng một phía của

AB

, có tâm đường tròn ngoại tiếp lần lượt là

P

và

Q

. Hai đường tròn ngoại tiếp lại giao nhau tại

N

. Gọi

N'

là giao điểm của

AF

và

BC

. (a) Chứng minh

N=N'

. (b) Chứng minh

MN

đi qua một điểm cố định không phụ thuộc

M

. (c) Tìm quỹ tích trung điểm của

PQ

khi

M

thay đổi.

Bước 5 trên 5: Tính quỹ tích trung điểm hai tâm hình vuông

Bước trước Bước tiếp

R=\operatorname{mid}(PQ)\quad\Longrightarrow\quad d(R,AB)=\frac{AB}{4}

Phân tích chi tiết

Hai tâm $P$ và $Q$ lần lượt có các khoảng cách $AM/2$ và $MB/2$ tới $AB$ , cùng ở một phía. Vì vậy trung điểm $R$ có khoảng cách $(AM/2+MB/2)/2=AB/4$ tới $AB$ . Khi $M$ thay đổi, hình chiếu của nó theo $AB$ chạy trên khoảng tương ứng, nên quỹ tích là đoạn trên đường thẳng song song với $AB$ , cách $AB/4$ (giữa hai vị trí đầu mút khi $M$ tiến tới $A$ và $B$ ).