MathLabs

Bài 1

Tìm tất cả các số có ba chữ số NN chia hết cho 1111, sao cho N/11N/11 bằng tổng bình phương các chữ số của NN.
Bước 5 trên 6: Trường hợp B (có nhớ): a+b ≥ 10, chữ số trở thành a+1, a+b−10, b
Bước trướcBước tiếp
(a+1)2+(a+b−10)2+b2=10a+b⇒2a2+2ab+2b2−28a−21b+101=0(a+1)^2+(a+b-10)^2+b^2=10a+b \Rightarrow 2a^2+2ab+2b^2-28a-21b+101=0
Phân tích chi tiết

Khi a+b≥10a+b\ge10, việc cộng 10(a+b)10(a+b) vào 100a+b100a+b gây ra nhớ: chữ số hàng trăm trở thành a+1a+1 và chữ số hàng chục trở thành a+b−10a+b-10 (chữ số hàng đơn vị bb không đổi). Điều kiện tổng bình phương chữ số bây giờ là (a+1)2+(a+b−10)2+b2=10a+b(a+1)^2+(a+b-10)^2+b^2=10a+b, khai triển ra 2a2+2ab+2b2−28a−21b+101=02a^2+2ab+2b^2-28a-21b+101=0. Lập luận về tính chẵn lẻ tương tự trước (viết b=2B+1b=2B+1 rồi xét tính chẵn) cho thấy bb phải lẻ, và cụ thể b=3b=3 hoặc b=7b=7.