Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1960

Đề thi

Bài 1Tìm tất cả các số có ba chữ số $N$ chia hết cho $11$ , sao cho $N/11$ bằng tổng bình phương các chữ số của $N$ .Các cách giải: 2
Bài 2Bất đẳng thức $\dfrac{4x^2}{\left(1-\sqrt{1+2x}\right)^2} < 2x+9$ đúng với những giá trị thực nào của $x$ ?Các cách giải: 1
Bài 3Cho tam giác vuông $ABC$ có cạnh huyền $BC$ dài $a$ , được chia thành $n$ phần bằng nhau với $n$ lẻ. Phần trung tâm chắn góc $\alpha$ tại $A$ . Nếu $h$ là khoảng cách vuông góc từ $A$ đến $BC$ , hãy chứng minh $\tan\alpha=\dfrac{4nh}{a(n^2-1)}$ .Các cách giải: 1
Bài 4Dựng tam giác $ABC$ khi biết độ dài các đường cao từ $A$ , từ $B$ , và đường trung tuyến từ $A$ .Các cách giải: 1
Bài 5Cho hình lập phương $ABCDA'B'C'D'$ với $A$ ở trên $A'$ , $B$ ở trên $B'$ và tương tự. Gọi $X$ là điểm bất kỳ trên đường chéo mặt $AC$ và $Y$ là điểm bất kỳ trên $B'D'$ . (a) Tìm quỹ tích trung điểm của $XY$ . (b) Tìm quỹ tích điểm $Z$ trên $XY$ sao cho $ZY=2XZ$ .Các cách giải: 1
Bài 6Một hình nón tròn xoay có một hình cầu nội tiếp tiếp xúc với đáy và mặt bên. Một hình trụ ngoại tiếp hình cầu, với đáy nằm trong mặt phẳng đáy hình nón. Gọi thể tích hình nón và hình trụ lần lượt là $V_1$ và $V_2$ : (a) chứng minh $V_1\ne V_2$ ; (b) tìm giá trị nhỏ nhất của $V_1/V_2$ , và trong trường hợp đó dựng nửa góc ở đỉnh hình nón.Các cách giải: 1
Bài 7Trong hình thang cân $ABCD$ có $AB\parallel DC$ và $BC=AD$ , cho $AB=a$ , $CD=c$ , và khoảng cách vuông góc từ $A$ đến $CD$ là $h$ . Hãy chỉ ra cách dựng mọi điểm $X$ trên trục đối xứng sao cho $\angle BXC=\angle AXD=90^\circ$ . Tìm khoảng cách từ mỗi $X$ đến $AB$ và $CD$ , và nêu điều kiện để các điểm đó tồn tại.Các cách giải: 1