第2問

不等式

\dfrac{4x^2}{\left(1-\sqrt{1+2x}\right)^2} < 2x+9

が成り立つのはどのような実数

x

に対してか。

ステップ 2/5: 平方根を取り除くための置換

x=-\tfrac12+\tfrac{a^2}{2},\ a\ge0 \implies \sqrt{1+2x}=a

詳しい解説

$x\ge-\tfrac12$ なので、 $1+2x=a^2$ ( $a\ge0$ )とおく、すなわち $x=\tfrac{a^2-1}{2}$ 。これにより厄介な平方根が通常の変数 $a$ に変わり、禁止された値 $x=0$ は単に $a\neq1$ となる。