国際数学オリンピック · 1960年

問題

第1問 $11$ で割り切れ、かつ $N/11$ が $N$ の各桁の数字の平方の和に等しいような、すべての3桁の数 $N$ を求めよ。解答: 2
第2問不等式 $\dfrac{4x^2}{\left(1-\sqrt{1+2x}\right)^2} < 2x+9$ が成り立つのはどのような実数 $x$ に対してか。解答: 1
第3問直角三角形 $ABC$ の斜辺 $BC$ の長さを $a$ とし、 $n$ 個の等しい部分( $n$ は奇数)に分ける。その中央の部分が $A$ で張る角を $\alpha$ とする。 $A$ から $BC$ への垂直距離を $h$ とするとき、 $\tan\alpha=\dfrac{4nh}{a(n^2-1)}$ を証明せよ。解答: 1
第4問頂点 $A$ と $B$ からの高さ、および頂点 $A$ からの中線の長さが与えられたとき、三角形 $ABC$ を作図せよ。解答: 1
第5問立方体 $ABCDA'B'C'D'$ で $A$ は $A'$ の真上、 $B$ は $B'$ の真上などとする。 $X$ を面対角線 $AC$ 上の任意の点、 $Y$ を $B'D'$ 上の任意の点とする。(a) $XY$ の中点の軌跡を求めよ。(b) $ZY=2XZ$ となるような $XY$ 上の点 $Z$ の軌跡を求めよ。解答: 1
第6問回転円錐に、その底面と側面に接する内接球がある。その球に外接する円柱を、底面が円錐の底面内にあるように置く。円錐と円柱の体積をそれぞれ $V_1$ と $V_2$ とする。(a) $V_1\ne V_2$ を証明せよ。(b) $V_1/V_2$ の最小値を求め、その場合の円錐の半頂角を作図せよ。解答: 1
第7問二等辺台形 $ABCD$ で $AB\parallel DC$ 、 $BC=AD$ とする。 $AB=a$ 、 $CD=c$ 、 $A$ から $CD$ への垂直距離を $h$ とする。対称軸上のすべての点 $X$ で $\angle BXC=\angle AXD=90^\circ$ となるものをすべて作図せよ。それぞれの $X$ について、 $AB$ および $CD$ からの距離を求め、存在条件を述べよ。解答: 1