MathLabs

Bài 6

Một hình nón tròn xoay có một hình cầu nội tiếp tiếp xúc với đáy và mặt bên. Một hình trụ ngoại tiếp hình cầu, với đáy nằm trong mặt phẳng đáy hình nón. Gọi thể tích hình nón và hình trụ lần lượt là V1V_1 và V2V_2: (a) chứng minh V1≠V2V_1\ne V_2; (b) tìm giá trị nhỏ nhất của V1/V2V_1/V_2, và trong trường hợp đó dựng nửa góc ở đỉnh hình nón.
Bước 2 trên 4: Tính tỉ số thể tích
Bước trướcBước tiếp
V2=2πr3,V1V2=(1+s)36s(1−s2),s=sin⁡θV_2=2\pi r^3,\quad \dfrac{V_1}{V_2}=\dfrac{(1+s)^3}{6s(1-s^2)},\quad s=\sin\theta
Phân tích chi tiết

Hình trụ ngoại tiếp có bán kính rr và chiều cao 2r2r, nên V2=2πr3V_2=2\pi r^3. Đặt s=sin⁡θs=\sin\theta, dùng cos⁡2θ=1−s2\cos^2\theta=1-s^2, rồi thay HH và RR vào V1=13πR2HV_1=\tfrac13\pi R^2H, ta được V1/V2=(1+s)3/[6s(1−s2)]V_1/V_2=(1+s)^3/[6s(1-s^2)], với 0<s<10<s<1.