MathLabs

Bài 6

Một hình nón tròn xoay có một hình cầu nội tiếp tiếp xúc với đáy và mặt bên. Một hình trụ ngoại tiếp hình cầu, với đáy nằm trong mặt phẳng đáy hình nón. Gọi thể tích hình nón và hình trụ lần lượt là V1V_1 và V2V_2: (a) chứng minh V1≠V2V_1\ne V_2; (b) tìm giá trị nhỏ nhất của V1/V2V_1/V_2, và trong trường hợp đó dựng nửa góc ở đỉnh hình nón.
Bước 3 trên 4: Chứng minh cận dưới và suy ra V1 ≠ V2
Bước trướcBước tiếp
V1V2≥43  ⟺  (1+s)3≥8s(1−s2)\dfrac{V_1}{V_2}\ge\dfrac43\iff (1+s)^3\ge8s(1-s^2)
Phân tích chi tiết

Vì mẫu số dương khi 0<s<10<s<1, bất đẳng thức V1/V2≥4/3V_1/V_2\ge4/3 tương đương (1+s)3≥8s(1−s2)(1+s)^3\ge8s(1-s^2). Lấy vế trái trừ vế phải được 1−5s+3s2+9s3=(1−3s)2(1+s)≥01-5s+3s^2+9s^3=(1-3s)^2(1+s)\ge0. Do đó V1/V2≥4/3>1V_1/V_2\ge4/3>1, suy ra V1≠V2V_1\ne V_2.