Math Labs

Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1961

Đề thi

  1. Bài 1Giải x+y+z=a,x2+y2+z2=b2,xy=z2x+y+z=a,\quad x^2+y^2+z^2=b^2,\quad xy=z^2 trên tập số thực. Tìm điều kiện cần và đủ theo aa và bb để x,y,zx,y,z là các số dương đôi một khác nhau.Các cách giải: 1
  2. Bài 2Cho a,b,ca,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác có diện tích SS. Chứng minh a2+b2+c2≥4S3a^2+b^2+c^2\ge4S\sqrt{3}. Khi nào xảy ra đẳng thức?Các cách giải: 1
  3. Bài 3Giải phương trình cos⁡nx−sin⁡nx=1\cos^n x-\sin^n x=1, trong đó nn là số nguyên dương cho trước.Các cách giải: 1
  4. Bài 4Cho điểm PP nằm trong tam giác P1P2P3P_1P_2P_3. Gọi Q1,Q2,Q3Q_1,Q_2,Q_3 lần lượt là giao điểm của PP1,PP2,PP3PP_1,PP_2,PP_3 với các cạnh đối diện. Chứng minh trong ba tỉ số PP1PQ1,PP2PQ2,PP3PQ3\frac{PP_1}{PQ_1},\frac{PP_2}{PQ_2},\frac{PP_3}{PQ_3} có một tỉ số không lớn hơn 22 và một tỉ số không nhỏ hơn 22.Các cách giải: 1
  5. Bài 5Dựng tam giác ABCABC nếu AC=bAC=b, AB=cAB=c, và ∠AMB=ω\angle AMB=\omega với ω<90∘\omega<90^\circ, trong đó MM là trung điểm của BCBC. Chứng minh phép dựng có nghiệm khi và chỉ khi btan⁡(ω/2)≤c<bb\tan(\omega/2)\le c<b. Khi nào xảy ra đẳng thức?Các cách giải: 1
  6. Bài 6Cho mặt phẳng ϵ\epsilon và ba điểm không thẳng hàng A,B,CA,B,C cùng nằm về một phía của nó; mặt phẳng ABCABC không song song với ϵ\epsilon. Trong ϵ\epsilon chọn tùy ý các điểm A′,B′,C′A',B',C'. Gọi L,M,NL,M,N là trung điểm của AA′,BB′,CC′AA',BB',CC', và GG là trọng tâm tam giác LMNLMN. Tìm quỹ tích GG khi A′,B′,C′A',B',C' độc lập chạy trên ϵ\epsilon, bỏ qua trường hợp LMNLMN suy biến.Các cách giải: 1