MathLabs

第4問

三角形 P1P2P3P_1P_2P_3 の内部に点 PP をとる。Q1,Q2,Q3Q_1,Q_2,Q_3 をそれぞれ PP1,PP2,PP3PP_1,PP_2,PP_3 と対辺との交点とする。三つの比 PP1PQ1,PP2PQ2,PP3PQ3\frac{PP_1}{PQ_1},\frac{PP_2}{PQ_2},\frac{PP_3}{PQ_3} のうち、一つは 22 以下で、一つは 22 以上であることを証明せよ。
ステップ 1/5: 各セーバ線を面積比に変換する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

同じ底辺を共有する三角形の面積は高さに比例し、一つのセーバ線上の点では距離比がそのまま現れる。

r1=[PP2P3][P1P2P3]=PQ1P1Q1,r2=PQ2P2Q2,r3=PQ3P3Q3r_1=\frac{[PP_2P_3]}{[P_1P_2P_3]}=\frac{PQ_1}{P_1Q_1},\quad r_2=\frac{PQ_2}{P_2Q_2},\quad r_3=\frac{PQ_3}{P_3Q_3}
詳しい解説

P,Q1,P1P,Q_1,P_1 は一直線上にあり、三角形 PP2P3PP_2P_3 と P1P2P3P_1P_2P_3 は底辺 P2P3P_2P_3 を共有するので、面積比は PQ1/P1Q1PQ_1/P_1Q_1 に等しい。これを r1r_1 とし、他の二つも巡回的に得る。