MathLabs

Bài 1

Giải x+y+z=a,x2+y2+z2=b2,xy=z2x+y+z=a,\quad x^2+y^2+z^2=b^2,\quad xy=z^2 trên tập số thực. Tìm điều kiện cần và đủ theo aa và bb để x,y,zx,y,z là các số dương đôi một khác nhau.
Bước 3 trên 3: Tìm x,y và điều kiện dương
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Với mỗi z hợp lệ, x và y là hai nghiệm của một phương trình bậc hai; biệt thức quyết định tính thực và khác nhau.

x,y=a−z±a2−2az−3z22,a2−2az−3z2≥0x,y=\frac{a-z\pm\sqrt{a^2-2az-3z^2}}{2},\qquad a^2-2az-3z^2\ge0
Phân tích chi tiết

Với mỗi z ở Bước 2, x,y là nghiệm của t2−(a−z)t+z2=0t^2-(a-z)t+z^2=0, cho công thức hiển thị; bất đẳng thức thứ hai chính xác là điều kiện để x,y thực. Đây là tham số hóa mọi nghiệm thực (kể cả nghiệm không khi a=b=0a=b=0). Nếu yêu cầu x,y,z dương đôi một khác nhau, tính dương cho a>0a>0, ∣b∣<a|b|<a, còn khác nhau thêm 3b2−a2>03b^2-a^2>0. Vậy điều kiện cần và đủ là a>0a>0 và a/3<∣b∣<aa/\sqrt3<|b|<a.