第2問

面積が

S

の三角形の辺の長さを

a,b,c

とする。

a^2+b^2+c^2\ge4S\sqrt{3}

を証明せよ。等号はどのような場合に成り立つか。

ステップ 1/6: ヘロンの公式を適用する

ざっくり言うと

ヘロンの公式により、面積を辺の長さだけの式に変えられる。

16S^2=(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)

詳しい解説

ヘロンの公式は $s=(a+b+c)/2$ として $S^2=s(s-a)(s-b)(s-c)$ を与える。四つの因子を $2$ 倍して整理すると上の等式になる。