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国際数学オリンピック · 1961年

問題

  1. 第1問実数の範囲で x+y+z=a,x2+y2+z2=b2,xy=z2x+y+z=a,\quad x^2+y^2+z^2=b^2,\quad xy=z^2 を解け。x,y,zx,y,z が互いに異なる正数となるための aa と bb の必要十分条件を求めよ。解答: 1
  2. 第2問面積が SS の三角形の辺の長さを a,b,ca,b,c とする。a2+b2+c2≥4S3a^2+b^2+c^2\ge4S\sqrt{3} を証明せよ。等号はどのような場合に成り立つか。解答: 1
  3. 第3問nn を与えられた正の整数として、方程式 cos⁡nx−sin⁡nx=1\cos^n x-\sin^n x=1 を解け。解答: 1
  4. 第4問三角形 P1P2P3P_1P_2P_3 の内部に点 PP をとる。Q1,Q2,Q3Q_1,Q_2,Q_3 をそれぞれ PP1,PP2,PP3PP_1,PP_2,PP_3 と対辺との交点とする。三つの比 PP1PQ1,PP2PQ2,PP3PQ3\frac{PP_1}{PQ_1},\frac{PP_2}{PQ_2},\frac{PP_3}{PQ_3} のうち、一つは 22 以下で、一つは 22 以上であることを証明せよ。解答: 1
  5. 第5問AC=bAC=b、AB=cAB=c、MM を BCBC の中点として ∠AMB=ω\angle AMB=\omega（ω<90∘\omega<90^\circ）が与えられたとき、三角形 ABCABC を作図せよ。作図可能であるための必要十分条件が btan⁡(ω/2)≤c<bb\tan(\omega/2)\le c<b であることを証明せよ。等号はいつ成り立つか。解答: 1
  6. 第6問平面 ϵ\epsilon と、その同じ側にある一直線上にない三点 A,B,CA,B,C を考える。ただし平面 ABCABC は ϵ\epsilon に平行でない。ϵ\epsilon 上に任意の点 A′,B′,C′A',B',C' をとる。L,M,NL,M,N をそれぞれ AA′,BB′,CC′AA',BB',CC' の中点、GG を三角形 LMNLMN の重心とする。A′,B′,C′A',B',C' が独立に ϵ\epsilon 上を動くときの GG の軌跡を求めよ（LMNLMN が退化する位置は除く）。解答: 1