MathLabs

Bài 4

Cho điểm PP nằm trong tam giác P1P2P3P_1P_2P_3. Gọi Q1,Q2,Q3Q_1,Q_2,Q_3 lần lượt là giao điểm của PP1,PP2,PP3PP_1,PP_2,PP_3 với các cạnh đối diện. Chứng minh trong ba tỉ số PP1PQ1,PP2PQ2,PP3PQ3\frac{PP_1}{PQ_1},\frac{PP_2}{PQ_2},\frac{PP_3}{PQ_3} có một tỉ số không lớn hơn 22 và một tỉ số không nhỏ hơn 22.
Bước 1 trên 5: Đổi mỗi đường cevian thành tỉ số diện tích
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Các tam giác chung một đáy có diện tích tỉ lệ với chiều cao, còn các điểm trên một cevian cho tỉ số khoảng cách tuyến tính.

r1=[PP2P3][P1P2P3]=PQ1P1Q1,r2=PQ2P2Q2,r3=PQ3P3Q3r_1=\frac{[PP_2P_3]}{[P_1P_2P_3]}=\frac{PQ_1}{P_1Q_1},\quad r_2=\frac{PQ_2}{P_2Q_2},\quad r_3=\frac{PQ_3}{P_3Q_3}
Phân tích chi tiết

Vì P,Q1,P1P,Q_1,P_1 thẳng hàng, hai tam giác PP2P3PP_2P_3 và P1P2P3P_1P_2P_3 chung đáy P2P3P_2P_3 nên tỉ số diện tích bằng PQ1/P1Q1PQ_1/P_1Q_1. Đặt r1r_1 bằng tỉ số này; hai đẳng thức còn lại suy ra theo chu kỳ.