MathLabs

Bài 4

Cho điểm PP nằm trong tam giác P1P2P3P_1P_2P_3. Gọi Q1,Q2,Q3Q_1,Q_2,Q_3 lần lượt là giao điểm của PP1,PP2,PP3PP_1,PP_2,PP_3 với các cạnh đối diện. Chứng minh trong ba tỉ số PP1PQ1,PP2PQ2,PP3PQ3\frac{PP_1}{PQ_1},\frac{PP_2}{PQ_2},\frac{PP_3}{PQ_3} có một tỉ số không lớn hơn 22 và một tỉ số không nhỏ hơn 22.
Bước 5 trên 5: Suy ra hai bất đẳng thức cần chứng minh
Bước trướcBước tiếp
ri≤13⟹PPiPQi≥2,rj≥13⟹PPjPQj≤2r_i\le\frac13\Longrightarrow\frac{PP_i}{PQ_i}\ge2,\qquad r_j\ge\frac13\Longrightarrow\frac{PP_j}{PQ_j}\le2
Phân tích chi tiết

Hàm (1−r)/r(1-r)/r giảm khi rr dương. Vì vậy ri≤1/3r_i\le1/3 cho PPi/PQi≥2PP_i/PQ_i\ge2, còn rj≥1/3r_j\ge1/3 cho PPj/PQj≤2PP_j/PQ_j\le2. Đây chính là hai kết luận cần chứng minh.