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第6题

考虑一个等腰三角形。设其外接圆半径为 RR，内切圆半径为 rr。证明两圆圆心之间的距离 dd 为 R(R−2r)\sqrt{R(R-2r)}。
第 2/6 步：联系内切圆半径与辅助弦
上一步下一步
D∈AB∩(incircle),∠ADI=∠MBL=90∘,∠IAD=∠LMBD\in AB\cap\text{(incircle)},\quad\angle ADI=\angle MBL=90^\circ,\quad\angle IAD=\angle LMB
详细分析

设 DD 为内切圆与 ABAB 的切点。由直角以及 AA 与 MM 处的相等角，得 △ADI∼△MBL\triangle ADI\sim\triangle MBL。因 ID=rID=r 且 ML=2RML=2R，相似给出 ID⋅ML=AI⋅BLID\cdot ML=AI\cdot BL，故 2Rr=AI⋅BL2Rr=AI\cdot BL。