今天学点什么?

命题与逻辑推理

命题是非真即假的陈述,不能既真又假。$\neg P$、$P \wedge Q$、$P \vee Q$、$P \to Q$ 等联结词构成复合命题,真值表能让我们确切验证 $\neg(P \wedge Q) \equiv (\neg P) \vee (\neg Q)$ 这样的等价关系。

谓词逻辑

谓词逻辑用量词 $\forall x\, P(x)$(“对所有 $x$,$P(x)$”)和 $\exists x\, P(x)$(“存在 $x$ 使得 $P(x)$”)扩展了命题逻辑,使我们能够形式化关于某个论域中每个元素或某个元素的陈述,并用塔斯基满足语义对其进行推理。

哥德尔不完备定理

任何强大到足以描述算术的形式系统,都必然包含它无法证明的真命题,也无法证明自身的一致性——这一1931年发现的根本性限制,重塑了逻辑学、可计算性理论与数学哲学。

abc猜想

预测对互素的 $a+b=c$,$c$ 很少会远大于 $abc$ 的不同素因子之积——1985年提出;2012年一项有争议的证明声明于2021年发表,但尚未被大多数数论学家接受。

尺规三等分角问题

1837年由皮埃尔·万策尔证明在一般情形下不可能实现：三等分 $60^\circ$ 角需要作出 $\cos(20^\circ)$，但它在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式 $8x^3 - 6x - 1 = 0$ 的次数为 $3$，不是 $2$ 的幂。

阿廷原根猜想

如果整数 $a$ 的幂生成整个 $p-1$ 阶乘法群 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$,则称它是模素数 $p$ 的原根。1927年,埃米尔·阿廷向赫尔穆特·哈塞提出:任何非平方数的整数 $a \ne -1$ 对正比例的素数 $p$ 都能生成 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$,其密度由欧拉积启发式给出。随后莱默的数值计算发现在 $a$ 的无平方因子部分同余于 $1 \pmod{4}$ 时存在微小纠缠修正,海尔布伦据此修正了密度公式。1967年,克里斯托弗·胡利在广义黎曼猜想下证明了修正后的猜想;1986年,D. R. 希思-布朗无条件地证明了至多有两个素数底可能使猜想失效——但至今仍未对任何一个具体的底 $a$ 给出无条件证明。

花拉子米

在巴格达智慧宫工作的波斯数学家、天文学家。他关于“还原”与“对消”方程的论著为代数学命名,并首次对其进行系统论述;他关于印度数字的著作帮助把印度-阿拉伯十进制记数法传入西方数学传统。

艾伦·图灵

英国数学家、逻辑学家,提出以其名字命名的抽象计算机模型,奠定了计算机科学的理论基础,并在二战破译德国恩尼格玛密码的工作中发挥核心作用。

亚历山大·格罗滕迪克

生于德国、在法国工作的数学家,以概形、层、拓扑斯与平展上同调的语言重建代数几何,并彻底改变了同调代数与范畴论。