大问题

古代

1. 公元前450年
   尺规三等分角问题几何学, 代数学. 1837年由皮埃尔·万策尔证明在一般情形下不可能实现：三等分 $60^\circ$ 角需要作出 $\cos(20^\circ)$，但它在 $\mathbb{Q}$ 上的极小多项式 $8x^3 - 6x - 1 = 0$ 的次数为 $3$，不是 $2$ 的幂。已解决
2. 公元前450年
   化圆为方几何学, 代数学. 用圆规和直尺化圆为方是不可能的，因为 $\pi$ 是超越数。费迪费迪南德·冯·林德曼, 1882
3. 公元前430年
   倍立方问题几何学, 代数学. 自古被称为“得洛斯问题”的尺规倍立方问题，于1837年被皮埃尔·万策尔证明为不可能，因为 $\sqrt[3]{2}$ 在 $\mathbb{Q}$ 上的代数次数为 $3$，不是 $2$ 的幂。已解决
4. 公元前300年
   可尺规作图的正多边形（高斯-万策尔定理）几何学, 代数学. 由高斯-万策尔定理（1796–1837年），正 $n$ 边形可尺规作图的充要条件是 $n = 2^k p_1 \cdots p_m$ 为 $2$ 的幂与互不相同的费马素数 $p_i = 2^{2^{r_i}} + 1$ 的乘积。卡尔卡尔·弗里德里希·高斯, 1837
5. 100
   奇完全数算术与数论. 欧几里得-欧拉定理将偶完全数完全刻画为 $2^{p-1}(2^p - 1)$(其中 $2^p - 1$ 为梅森素数),但奇完全数是否存在则是数学中最古老的未解决问题之一。任何假想的奇完全数都必须具有欧拉形式 $N = q^k m^2$(满足 $q \equiv k \equiv 1 \pmod{4}$),大于 $10^{1500}$,且至少有10个不同的素因子。未解决

近代早期

1. 1611
   开普勒猜想几何学. 在空间中堆放等大球体的最密方式，正是人们熟悉的炮弹堆法，其密度为 $\pi/\sqrt{18}$。希尔伯特 #18托马托马斯·黑尔斯, 1998
2. 1637
   费马大定理算术与数论. 满足 $x^n + y^n = z^n$ 的三个正整数对任意整数指数 $n > 2$ 均不存在——由费马于1637年左右提出，安德鲁·怀尔斯（与理查德·泰勒合作）于1994至1995年间通过半稳定椭圆曲线的模性予以证明。安德安德鲁·怀尔斯, 1994
3. 1640
   费马素数的有限性算术与数论. 费马于1640年猜想每个形如 $2^{2^n}+1$ 的数都是素数;欧拉在1732年通过分解 $F_5$ 推翻了这一猜想。此后,从 $F_5$ 到 $F_{32}$ 每一个被检验过的费马数都被证明是合数,也从未找到第六个费马素数,这催生了现代(相反方向的)猜想:费马素数只有有限多个。未解决
4. 1644
   梅森素数的无穷性算术与数论. 马兰·梅森于1644年列出了他认为能使 $2^p-1$ 成为素数的指数。如今已知的梅森素数只有52个,最大的一个 $2^{136279841}-1$ 于2024年发现,有超过4100万位数字。每发现一个新的梅森素数都呈指数级更难找到,尽管启发式模型预测存在无穷多个,但至今没有证明。未解决
5. 1650
   巴塞尔问题分析学. $\sum_{n=1}^{\infty} 1/n^2$ 的和等于 $\pi^2/6$。莱昂莱昂哈德·欧拉, 1735
6. 1694
   接吻数问题几何学. 在 $\mathbb{R}^n$ 中，最多有多少个互不重叠的等大球体可以同时与中心同尺寸球体相切？该问题源于1694年艾萨克·牛顿与大卫·格雷戈里关于 $n=3$ 的争论，至今精确值 $k(n)$ 仅在维数 $n = 1, 2, 3, 4, 8, 24$ 中完全确定。部分解决

18世纪

1. 1734
   欧拉–马斯刻若尼常数的无理性算术与数论, 分析学. 欧拉–马斯刻若尼常数 $\gamma$ 由莱昂哈德·欧拉于1734年作为调和级数 $H_n = \sum_{k=1}^n 1/k$ 与自然对数 $\ln n$ 之差的极限引入,广泛出现于分析学、数论和概率论中,尤其是 $s = 1$ 处洛朗展开 $\zeta(s) = \frac{1}{s-1} + \gamma + O(s-1)$ 的常数项以及 $\Gamma(z)$ 的魏尔斯特拉斯无穷乘积。尽管它是与 $\pi$ 和 $e$ 并列的分析学三大经典常数之一,人们至今仍不知道 $\gamma$ 是有理数、无理数、代数数还是超越数。连分数计算表明,若 $\gamma = p/q$ 为有理数,其分母必满足 $q > 10^{242080}$。未解决
2. 1734
   ζ(5) 与奇数处 zeta 值的无理性算术与数论. 1734年,莱昂哈德·欧拉求出 $\zeta(2) = \pi^2/6$,并更一般地证明了所有偶数处 zeta 值 $\zeta(2k)$ 都是 $\pi^{2k}$ 的有理数倍,从而都是超越数。相比之下,对于奇数处 zeta 值 $\zeta(2k+1)$,至今未知任何用 $\pi$ 表示的封闭公式。1978年,罗热·阿佩里证明了 $\zeta(3)$ 是无理数,震惊数学界;2000–2001年,唐吉·里瓦尔与基思·鲍尔证明了有无穷多个奇数处 zeta 值是无理数,瓦季姆·祖季林则证明了 $\zeta(5), \zeta(7), \zeta(9), \zeta(11)$ 中至少有一个是无理数。然而,从 $\zeta(5)$ 开始的任何一个具体值 $\zeta(2k+1)$($k \ge 2$)的无理性依然悬而未决。未解决
3. 1736
   哥尼斯堡七桥问题组合数学与离散数学. 这样的路线不存在:对应的图中有四个奇数度的顶点。莱昂莱昂哈德·欧拉, 1736
4. 1742
   哥德巴赫猜想算术与数论. 1742年,哥德巴赫在给欧拉的信中提出:大于2的每个整数都是三个素数之和(当时1仍被视为素数);欧拉将其改述为如今更强的标准形式:大于2的每个偶数都是两个素数之和。尽管已用计算机验证了直到 $4\times10^{18}$ 的所有偶数,并有许多有力的部分结果,一般性的命题至今仍未被证明。另一个较弱的命题——弱(三素数)哥德巴赫猜想,即大于5的每个奇数都是三个素数之和——已由赫尔夫戈特于2013年完全证明。兰道 #1未解决
5. 1770
   五次方程不可解性代数学. 与二次、三次、四次求根公式不同，没有任何根式公式能求解一般的五次方程——伽罗瓦理论完整地解释了这一事实。尼尔尼尔斯·亨利克·阿贝尔, 1824
6. 1770
   华林问题算术与数论. 每个自然数都是 $4$ 个平方数、$9$ 个立方数、$19$ 个四次方数等之和：由爱德华·华林于1770年提出猜想，大卫·希尔伯特于1909年证明了对每个指数 $k$ 有限界 $g(k)$ 均存在，从而解决了该问题。大卫大卫·希尔伯特, 1909

19世纪

1. 1808
   勒让德猜想算术与数论. 追问任意两个相邻平方数 $n^2$ 与 $(n+1)^2$ 之间——在 $x = n^2$ 处长度为 $2n + 1 \approx 2x^{1/2}$ 的区间——是否总存在素数。1912年被埃德蒙·朗道列为四个「无从下手」的素数问题之一,即便假设黎曼猜想成立也仍未解决。兰道 #3未解决
2. 1834
   高斯圆问题算术与数论, 分析学. 由于每个整格点 $(m,n) \in \mathbb{Z}^2$ 都是面积为 $1$ 的单位正方形的中心,圆 $x^2+y^2 \le r^2$ 内的格点个数可由圆面积 $\pi r^2$ 近似。1834年,卡尔·弗里德里希·高斯证明了初等几何界 $|E(r)| \le 2\sqrt{2}\pi r$,给出 $E(r) = O(r)$。谢尔宾斯基于1906年将其改进为 $O(r^{2/3})$,而 G. H. 哈代与埃德蒙·兰道在1915年各自独立地证明了 $E(r)$ 不可能是 $O(r^{1/2})$,即 $\theta \ge \tfrac{1}{2}$。尽管历经一个世纪的指数和方法改进并达到马丁·赫胥黎发表的上界 $\theta \le \tfrac{131}{208} \approx 0.62981$,猜想值 $\theta = \tfrac{1}{2}$ 依然悬而未决。未解决
3. 1844
   卡塔兰猜想算术与数论. 8和9是正整数完全幂中唯一相邻的一对；卡塔兰于1844年提出猜想，米哈伊列斯库于2002年证明。普雷普雷达·米哈伊列斯库, 2002
4. 1849
   狄利克雷除数问题算术与数论, 分析学. 统计满足 $ab \le x$ 的正整数对 $(a,b)$ 的个数,在几何上等价于统计第一象限内直角双曲线 $ab = x$ 下方的整格点个数。1849年,彼得·古斯塔夫·勒热纳·狄利克雷通过在 $\sqrt{x}$ 处分割区域(狄利克雷双曲线法)证明了 $D(x) = x\log x + (2\gamma - 1)x + O(x^{1/2})$。沃罗诺伊于1904年将误差指数降至 $\tfrac{1}{3}$,哈代与兰道于1915年证明了 $\theta \ge \tfrac{1}{4}$。由于 $\sum_{n=1}^{\infty} d(n)n^{-s} = \zeta(s)^2$,该问题与黎曼 zeta 函数在临界线上的增长密切相关,并与高斯圆问题共享指数和工具;目前经同行评审发表的最佳上界记录是马丁·赫胥黎2003年证明的 $\theta \le \tfrac{131}{416} \approx 0.31490$。未解决
5. 1849
   孪生素数猜想算术与数论. $(3,5)$、$(11,13)$、$(17,19)$ 这样的数对称为孪生素数。阿方斯·德·波利尼亚克于1849年以一般形式提出了这一猜想,它是“每个偶数 $n$ 都是无穷多对相邻素数之间的间隔”这一论断在 $n=2$ 时的特例。这个问题一度被认为毫无希望,直到2013年张益唐证明了某个固定上界以下的间隔会无穷次出现——这是朝着该猜想迈出的第一个惊人步骤。此后筛法理论的改进已将上界从 70,000,000 降到 246,但迄今为止没有任何方法能将间隔一直压缩到 2。兰道 #2未解决
6. 1852
   四色定理组合数学与离散数学. 任何平面地图（或无自环平面图 $G$）都可以用至多 $4$ 种颜色着色（$\chi(G) \le 4$）——由弗朗西斯·格思里于1852年提出，肯尼思·阿佩尔与沃尔夫冈·哈肯于1976年借助计算机完成证明，1997年得到简化，并于2005年由乔治·贡蒂埃在Coq中完成形式化验证。肯尼肯尼斯·阿佩尔, 1976
7. 1859
   黎曼猜想算术与数论, 分析学. zeta 函数编码了素数的分布:它的零点控制着素数计数函数 $\pi(x)$ 中的误差项。1859年,黎曼注意到他所能算出的所有非平凡零点都落在临界线 $\mathrm{Re}(s)=\tfrac12$ 上,并猜想这总是成立。若能证明,将给出素数定理最强的形式;已有数十亿个零点经数值验证均落在该直线上,但至今没有证明或反例。它是克雷数学研究所七个千禧年大奖难题之一。千禧年希尔伯特 #8未解决
8. 1876
   布罗卡尔问题算术与数论. 该问题由亨利·布罗卡尔于1876年和1885年提出,斯里尼瓦瑟·拉马努金于1913年独立提出,询问 $n! + 1$ 何时为完全平方数 $m^2$。满足方程的数对 $(n, m)$ 称为布朗数;目前仅知三组解:$4! + 1 = 5^2$、$5! + 1 = 11^2$ 与 $7! + 1 = 71^2$。保罗·埃尔德什猜想不存在其他解。在假定 $abc$ 猜想成立的前提下,马里乌斯·奥弗霍尔特于1993年证明了只有有限个解,而计算机搜索已检验至 $n = 10^{15}$,仍未发现第四组解。未解决
9. 1878
   连续统假设数学基础. 康托尔证明了实数集不可数,因此其基数 $2^{\aleph_0}$ 严格大于整数集的基数 $\aleph_0$。连续统假设(CH)问的是 $2^{\aleph_0}$ 是否恰好是下一个基数 $\aleph_1$。哥德尔(1940年)证明了在标准的 ZFC 公理系统中无法证伪 CH,而科恩(1963年)则用他新发明的力迫法(forcing)证明了 CH 也无法被证明。因此 CH 独立于 ZFC:CH 及其否定都与通常的集合论公理相容,所以这个问题在 ZFC 之内没有答案。希尔伯特 #1库尔库尔特·哥德尔, 1963
10. 1882
    e + π 与 e·π 的无理性算术与数论. 夏尔·埃尔米特于1873年证明了 $e$ 是超越数,费迪南德·冯·林德曼于1882年证明了 $\pi$ 是超越数。由于 $(x - e)(x - \pi) = x^2 - (e + \pi)x + e\pi$,两个数 $e$ 与 $\pi$ 是以 $-(e + \pi)$ 和 $e\pi$ 为系数的二次多项式的根。因为代数系数多项式的根仍为代数数,所以 $e + \pi$ 与 $e\pi$ 不可能同时为代数数:在 $e + \pi$ 和 $e\pi$ 中至少有一个是超越数(从而是无理数)。然而,对于 $e + \pi$ 或 $e\pi$ 中的任何一个单独而言,甚至连它是否为无理数都完全未知。未解决
11. 1892
    反伽罗瓦问题代数学. 反伽罗瓦问题源于19世纪代数学，由大卫·希尔伯特（1892年）和埃米·诺特（1918年）形式化，询问是否每个有限群都能作为 $\mathbb{Q}$ 上的伽罗瓦群。该问题对所有可解群（沙法列维奇，1954年）及全部26个散在单群已获解决，但一般情形仍未解决。未解决
12. 1893
    阿达马猜想组合数学与离散数学, 代数学. 对每个 $4$ 的正整数倍 $n$，是否都存在元素为 $\pm 1$ 的 $n \times n$ 正交矩阵（阿达马矩阵）？该问题源于西尔维斯特（1867年）、阿达马最大行列式定理（1893年）以及佩利的有限域构造（1933年）；尽管计算机与AI辅助搜索已构造出 $2000$ 以内所有 $4$ 的倍数阶的阿达马矩阵，一般猜想依然悬而未决。未解决

20世纪

1. 1900
   希尔伯特第七问题算术与数论. 1934年由亚历山大·格尔丰德与特奥多尔·施奈德各自独立证明:只要 $\alpha \ne 0, 1$ 是代数数且 $\beta$ 是代数无理数,$\alpha^\beta$ 就是超越数——一举解决了希尔伯特提出的两个典型例子 $2^{\sqrt{2}}$ 与 $e^\pi = (-1)^{-i}$。希尔伯特 #7已解决
2. 1900
   希尔伯特第十六问题微分方程与动力系统, 几何学. 追问 $n$ 次实代数曲线卵形线可能的排列方式,以及平面上 $n$ 次多项式向量场极限环个数的一致上界 $H(n)$。每个单独的多项式系统只有有限多个极限环(伊利亚申科1991年;埃卡尔1992年),但 $H(n) < \infty$ 是否成立即便在 $n = 2$ 时仍未解决。希尔伯特 #16斯梅尔 #13未解决
3. 1900
   希尔伯特第六问题数学物理. 希尔伯特既要求为概率论与力学建立公理化基础,又要求从微观粒子碰撞严格推导出宏观流体方程。柯尔莫哥洛夫于1933年完成了概率论公理化,邓煜、哈尼与马骁于2025年从硬球动力学推导出长时间玻尔兹曼方程及流体方程,而将整个现代物理学公理化的宏大目标仍未完成。希尔伯特 #6部分解决
4. 1900
   希尔伯特第十问题数学基础, 算术与数论. 一般而言，不存在算法能判定丢番图方程是否有整数解——希尔伯特第十问题的答案是否定的。希尔伯特 #10尤里尤里·马季亚谢维奇, 1970
5. 1900
   希尔伯特第三问题几何学. 任意两个面积相等的多边形都可以切割成有限块并重新拼成彼此,但马克斯·德恩于1900年证明三维情形并不成立:体积相等的立方体与正四面体在 $\mathbb{R} \otimes_{\mathbb{Q}} (\mathbb{R}/\pi\mathbb{Q})$ 中具有不同的德恩不变量,永远无法相互剪拼转化。希尔伯特 #3已解决
6. 1900
   希尔伯特第十二问题算术与数论. 要求寻找数域 $K$ 的所有阿贝尔扩张的显式解析生成元,推广单位根 $\exp(2\pi i/n)$ 生成 $\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}}$ 的性质。虚二次域情形已由复乘法理论解决,全实域情形在 $p$ 进意义下已由达斯古普塔与卡克德(2021–2023年)解决,而一般的复解析问题仍然悬而未决。希尔伯特 #12未解决
7. 1900
   8维与24维空间中的球堆积问题几何学. $\mathbb{R}^8$ 中的 $E_8$ 格与 $\mathbb{R}^{24}$ 中的利奇格 $\Lambda_{24}$ 在所有周期及非周期排列中达到了最高球堆积密度；2016年3月由玛丽娜·维亚佐夫斯卡（$n=8$）以及科恩、库马尔、米勒、拉德琴科与维亚佐夫斯卡（$n=24$）解决。已解决
8. 1902
   伯恩赛德问题代数学. 该问题由威廉·伯恩赛德于1902年提出，后分化为三个主要分支：一般伯恩赛德问题为假（戈洛德–沙法列维奇，1964年）；有界伯恩赛德问题在 $n \in \{1, 2, 3, 4, 6\}$ 时为真，在指数充分大时为假（诺维科夫–阿迪安，1968年；伊万诺夫，1994年；雷先诺克，1996年），但对 $n = 5$ 等小指数仍未解决；受限伯恩赛德问题则对所有指数皆为真（泽尔马诺夫，1989–1990年）。部分解决
9. 1904
   庞加莱猜想拓扑学, 几何学. 每个单连通闭 $3$ 维流形都同胚于 $3$ 维球面 $S^3$——由亨利·庞加莱于1904年提出，格里戈里·佩雷尔曼于2002至2003年间利用带手术的里奇流予以证明，是克雷千禧年大奖难题中唯一已获解决的问题。千禧年格里格里戈里·佩雷尔曼, 2003
10. 1904
    索菲·热尔曼素数无穷性猜想算术与数论. 满足 $2p+1$ 也是素数的素数 $p$ 称为索菲·热尔曼素数,其伴随的 $2p+1$ 称为安全素数。19世纪初,索菲·热尔曼引入这类素数,用于证明此类指数下费马大定理的第一情形。尽管安全素数已广泛应用于公钥密码学(如 Diffie–Hellman 密钥交换),且计算机已找出数十万位的巨大实例,但索菲·热尔曼素数是否有无穷多个仍未获证。该猜想是迪克森猜想与欣策尔假设 H 的特例,哈代与李特尔伍德还给出了其密度的精确启发式渐近公式。未解决
11. 1908
    林德勒夫猜想算术与数论, 分析学. 由芬兰数学家恩斯特·伦纳德·林德勒夫于1908年提出的林德勒夫猜想断言:在临界线 $\mathrm{Re}(s) = \tfrac{1}{2}$ 上,黎曼 zeta 函数的增长速度慢于 $t$ 的任何正幂次。结合弗拉格门–林德勒夫凸性原理与函数方程可给出基本的凸性界 $\mu(\tfrac{1}{2}) \le \tfrac{1}{4}$。虽然黎曼猜想蕴含林德勒夫猜想(甚至给出更精细的界 $|\zeta(\tfrac{1}{2}+it)| \ll \exp(C \log t / \log\log t)$),但林德勒夫猜想本身已足以推出关于 $\zeta(s)$ 零点的密度猜想以及短区间 $[x, x+x^{1/2+\varepsilon}]$ 上的渐近素数定理。未解决
12. 1909
    π 的正规性算术与数论, 概率与统计. 埃米尔·博雷尔于1909年引入正规数的概念,并利用博雷尔–坎泰利引理证明了(在勒贝格测度意义下)几乎所有实数在每个整数进制 $b \ge 2$ 下都是正规数。然而,要证明任何一个非由数字拼接人为构造的自然常数具有正规性却异常困难。对于 $\pi$,人们已计算出数万亿位十进制和十六进制数字,它们均通过了均匀频率 $10^{-k}$ 的统计检验,且1996年的贝利–博温–普劳夫(BBP)公式将 $\pi$ 在 $16$ 进制下的正规性与一个混沌映射的均匀分布联系起来,但迄今甚至连 $\pi$ 的十进制展开中每个数字 $0, 1, \dots, 9$ 是否都出现无穷多次也仍属未知。未解决
13. 1910
    解结问题（判定平凡纽结的计算复杂度）拓扑学, 应用与计算数学. 1961年由沃尔夫冈·哈肯证明可判定，现已无条件证明属于 $\mathsf{NP} \cap \mathsf{coNP}$，且马克·拉肯比于2021年宣布了准多项式时间 $n^{O(\log n)}$ 算法，但该问题是否属于多项式时间类 $\mathsf{P}$ 仍未解决。部分解决
14. 1911
    内接正方形问题（托普利茨猜想）几何学, 拓扑学. 平面上任意连续简单闭合回路是否都包含一个正方形的四个顶点？对于光滑曲线、分段解析曲线和局部单调曲线已获证明，且已推广到光滑曲线上的任意长方形（格林–洛布，2020），但对一般连续约当曲线仍悬而未决。未解决
15. 1912
    n² + 1 型素数(朗道第四问题)算术与数论. 狄利克雷定理保证任意互素的一次算术级数 $an + b$ 中有无穷多个素数,但迄今没有任何一个二次或更高次的单变量多项式被证明能取到无穷多个素数值。1912年埃德蒙·朗道将 $n^2 + 1$ 的情形列为其四个素数问题中的第四个,至今仍未解决;最接近的无条件结果是伊瓦涅茨1978年的定理,即 $n^2 + 1$ 有无穷多次至多是两个素数的乘积。兰道 #4未解决
16. 1916
    比伯巴赫猜想分析学. 开单位圆盘上的每个归一化单叶全纯函数 $f(z) = z + \sum_{n=2}^\infty a_n z^n$ 对所有 $n \ge 2$ 均满足 $|a_n| \le n$（德布朗热定理）。已解决
17. 1917
    挂谷猜想分析学, 几何学. $\mathbb{R}^n$ 中包含所有方向单位线段的集合可以具有零测度，但其豪斯多夫维数必为满维数 $n$：$n=2$ 情形已由戴维斯（1971）证明，$n=3$ 情形由王虹与扎尔在2025年里程碑式的预印本中解决，而 $n \ge 4$ 仍悬而未决。部分解决
18. 1917
    无三点共线问题组合数学与离散数学, 几何学. 在 $n \times n$ 格点阵上最多能放置多少个无三点共线的格点？由抽屉原理知每行至多放 $2$ 个点，故 $f(n) \le 2n$。亨利·杜德尼于1917年提出 $n = 8$ 的棋盘问题；尽管所有已检验的 $n \le 74$ 均满足 $f(n) = 2n$，但针对大 $n$ 的最优一般构造仅能达到 $(3/2 - o(1))n$。未解决
19. 1920
    苏斯林问题数学基础. 该问题于1920年米哈伊尔·苏斯林逝世后发表，询问在康托尔对 $(\mathbb{R}, <)$ 的刻画中，可分性条件能否减弱为可数链条件。耶赫、滕南鲍姆、延森以及索洛维–滕南鲍姆（1967–1971年）的工作确立了苏斯林假说独立于 ZFC。独立于公理系统
20. 1927
    阿廷原根猜想算术与数论, 代数学. 如果整数 $a$ 的幂生成整个 $p-1$ 阶乘法群 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$,则称它是模素数 $p$ 的原根。1927年,埃米尔·阿廷向赫尔穆特·哈塞提出:任何非平方数的整数 $a \ne -1$ 对正比例的素数 $p$ 都能生成 $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^{\times}$,其密度由欧拉积启发式给出。随后莱默的数值计算发现在 $a$ 的无平方因子部分同余于 $1 \pmod{4}$ 时存在微小纠缠修正,海尔布伦据此修正了密度公式。1967年,克里斯托弗·胡利在广义黎曼猜想下证明了修正后的猜想;1986年,D. R. 希思-布朗无条件地证明了至多有两个素数底可能使猜想失效——但至今仍未对任何一个具体的底 $a$ 给出无条件证明。未解决
21. 1930
    利特尔伍德猜想算术与数论. 在一维情形下,难逼近数 $\alpha$ 满足 $\liminf_{n \to \infty} n \, \|n\alpha\| > 0$,像 $\sqrt{2}$ 这样的二次无理数便是经典例子。1930年前后,J. E. 利特尔伍德猜想在二维情形下不存在这种同时逼近的障碍:将两个逼近误差 $\|n\alpha\|$ 与 $\|n\beta\|$ 相乘后,乘积 $n \, \|n\alpha\| \, \|n\beta\|$ 总能变得任意小。2006年,曼弗雷德·艾因西德勒、阿纳托尔·卡托克和埃隆·林登施特劳斯利用齐性动力系统证明了潜在反例集合的豪斯多夫维数为 $0$,但例外集是否完全为空集仍未解决。未解决
22. 1930
    拉姆齐数 R(5,5) 的精确值组合数学与离散数学. 尽管 $R(3, 3) = 6$ 与 $R(4, 4) = 18$ 早已精确确定，但第五个对角拉姆齐数 $R(5, 5)$ 在拉姆齐理论诞生近一个世纪后仍未揭晓，目前被夹逼在四个整数的范围 $43 \le R(5, 5) \le 46$ 内。未解决
23. 1932
    埃尔德什偏差问题组合数学与离散数学, 算术与数论. 任何无穷 $\pm 1$ 序列在某个齐次等差数列 $d, 2d, \dots, nd$ 上的部分和都可以任意大；2015年由陶哲轩证明。埃尔德什陶哲陶哲轩, 2015
24. 1933
    博苏克分割问题几何学. 博苏克1933年提出“$\mathbb{R}^n$ 中任意有界集均可分为 $n+1$ 个直径更小的部分”的猜想，虽然对 $n \le 3$ 成立，但于1993年被杰夫·卡恩和吉尔·卡莱在高维情形推翻，目前已构造出低至 $n = 64$ 的反例（以及2026年关于 $n = 63$ 的预印本）。已被证伪
25. 1933
    莱默的马勒测度问题算术与数论, 代数学. 对于整系数多项式 $P(x) = a_d \prod_{i=1}^d (x - \alpha_i)$,其马勒测度定义为 $M(P) = |a_d| \prod_{i=1}^d \max(1, |\alpha_i|)$。根据克罗内克定理,当且仅当 $P(x)$ 是分圆多项式与 $x$ 的幂的乘积时才有 $M(P) = 1$。1933年,D. H. 莱默发现了一个次数为 $10$、马勒测度为 $\lambda \approx 1.1762808$ 的多项式,并询问是否存在马勒测度严格介于 $1$ 和 $\lambda$ 之间的整系数多项式。尽管对特殊多项式类已有很强的下界,且计算机穷举搜索已达次数 $44$,该一般性问题依然悬而未决。未解决
26. 1935
    圆满结局问题（埃尔德什–塞克雷什）组合数学与离散数学, 几何学. 平面上处于一般位置的多少个点才能保证存在一个凸 $n$ 边形？该问题由埃丝特·克莱因于1933年针对 $n = 4$ 提出，并促成了她与乔治·塞克雷什的婚姻，因而被保罗·埃尔德什戏称为“圆满结局问题”。猜想的精确公式 $\mathrm{ES}(n) = 2^{n-2} + 1$ 目前仅对 $n \le 6$ 获证，但安德鲁·苏克于2016年证明了渐近结果 $\mathrm{ES}(n) = 2^{n + o(n)}$。埃尔德什未解决
27. 1936
    关于素数间隔的克拉梅尔猜想算术与数论, 概率与统计. 由素数定理可知,$x$ 附近相邻素数的平均间隔为 $\log x$。1936年,哈拉尔德·克拉梅尔引入了一个概率模型,假定每个整数 $n \ge 3$ 以 $1/\log n$ 的概率独立地成为“素数”,并证明该随机序列中的最大间隔以概率 $1$ 按 $(\log x)^2$ 的量级增长。尽管安德鲁·格兰维尔在1995年指出考虑小素数的局部整除性后上极限应至少为 $2e^{-\gamma} \approx 1.1229$ 而非 $1$,但量级上界 $g_n = O((\log p_n)^2)$ 仍被广泛认同,且远超现有方法的能力范围——即便假定黎曼猜想成立,也只能得到 $g_n = O(\sqrt{p_n}\log p_n)$。未解决
28. 1937
    科拉兹猜想算术与数论, 微分方程与动力系统. 偶数减半,奇数变为三倍加一:猜想认为每个正整数最终都会回到1,但尽管经过数十年的计算机验证,至今仍未被证明。未解决
29. 1939
    雅可比猜想代数学, 分析学. 追问特征为零时具有非零常数雅可比行列式的多项式映射 $k^n \to k^n$ 是否必有多项式逆映射；$n \ge 3$ 的情形已于2026年被证伪，而平面情形 $n = 2$ 仍未解决。斯梅尔 #16部分解决
30. 1941
    关于加性基的埃尔德什–图兰猜想算术与数论, 组合数学与离散数学. 如果一个自然数集通过两两之和最终覆盖所有大整数（即构成 $2$ 阶渐近基），是否必然存在某些整数具有任意多种写成两个元素之和的表示方式？保罗·埃尔德什与帕尔·图兰于1941年提出的这一猜想 $\limsup_{n \to \infty} r_A(n) = \infty$ 至今悬而未决。埃尔德什未解决
31. 1941
    图重构猜想组合数学与离散数学. 顶点数不少于 $3$ 的有限简单图是否由其删点子图构成的多重集在同构意义下唯一决定？该猜想由保罗·J·凯利与斯坦尼斯瓦夫·乌拉姆于1941年提出，已对树、正则图、非连通图以及几乎所有图获证，但一般情形仍未解决。未解决
32. 1943
    哈德维格猜想（图子式）组合数学与离散数学. 若 $\chi(G) \ge t$，图 $G$ 是否必然包含完全图 $K_t$ 作为子式？该猜想由胡戈·哈德维格于1943年作为四色定理的宏大推广提出，$t \le 6$ 的情形已获证明（罗伯逊、西摩与托马斯，1993），而 $t \ge 7$ 的所有情形仍悬而未决。未解决
33. 1946
    埃尔德什单位距离问题几何学, 组合数学与离散数学. 平面上 $n$ 个点中最多有多少对点的距离为 $1$？其上界为 $O(n^{4/3})$，而2026年的一项代数数论构造证明了 $u(n) = \Omega(n^{1+c})$，从而推翻了埃尔德什的 $n^{1+o(1)}$ 猜想。埃尔德什未解决
34. 1948
    埃尔德什–施特劳斯猜想算术与数论. 这一埃及分数猜想由保罗·埃尔德什与恩斯特·G·施特劳斯于1948年提出,询问 $4/n$ 是否总能写成三个正整数的倒数之和。由于因子 $d \mid n$ 的分解可通过缩放给出 $n$ 的分解,因此只需对素数 $n = p$ 证明即可。简单的代数恒等式即可涵盖满足 $p \not\equiv 1 \pmod{24}$ 的素数,更大的模覆盖系统排除了绝大多数剩余类,使计算机验证推进到 $n = 10^{17}$,但由有限个恒等式构成的完全覆盖系统不可能存在。埃尔德什未解决
35. 1949
    不变子空间问题分析学. 追问无穷维可分复希尔伯特空间上的每个有界线性算子是否都具有非平凡闭不变子空间。未解决
36. 1949
    自回避行走的临界指数概率与统计. 自回避行走由保罗·弗洛里于1949年作为聚合物链模型引入，物理学家猜测其具有普适临界指数（$d = 2$ 时 $\nu = 3/4$，$\gamma = 43/32$；$d = 3$ 时 $\nu \approx 0.5876$）。原隆与戈登·斯莱德于1992年利用蕾丝展开严格证明了 $d \ge 5$ 时的平均场值 $\nu = 1/2$，$\gamma = 1$，但在具有核心物理意义的 $d = 2$ 与 $d = 3$ 维度中，这些指数至今仍未获证明。未解决
37. 1950
    哈德维格–纳尔逊问题组合数学与离散数学, 几何学. 需要多少种颜色对平面 $\mathbb{R}^2$ 染色才能使距离为 $1$ 的任意两点不同色？自爱德华·纳尔逊于1950年提出以来，经典界一直停留在 $4 \le \chi(\mathbb{R}^2) \le 7$；2018年奥布里·德格雷将下界提升至 $5$，目前 $\chi(\mathbb{R}^2) \in \{5, 6, 7\}$ 仍悬而未决。未解决
38. 1950
    海尔布隆三角形问题几何学. 单位正方形内 $n$ 个点所构成的最小三角形面积最大能达到多少？海尔布隆最初的 $O(1/n^2)$ 猜想于1981年被证伪（$\Delta(n) = \Omega(\log n / n^2)$），而在2023–2024年，科恩、波霍阿塔与扎哈罗夫打破了尘封40余年的上界纪录，证明了 $\Delta(n) \le n^{-7/6 + o(1)}$。未解决
39. 1950
    霍奇猜想几何学, 代数学. 霍奇类是簇的复结构所标记为「具有几何形状」的上同调类;猜想问的是,是否每一个这样的类实际上都来自一个真正的代数子簇。自1924年(莱夫谢茨)起已知在余维数1的情形成立,对直到5维的阿贝尔簇也成立,它是克雷数学研究所七个千禧年大奖难题之一,一般情形仍未解决。千禧年未解决
40. 1950
    怀特海问题数学基础, 代数学. 由 J. H. C. 怀特海于1950年在同调代数中提出，询问满足 $\operatorname{Ext}^1_{\mathbb{Z}}(A, \mathbb{Z}) = 0$ 的每个阿贝尔群 $A$ 是否都是自由的。1974年，萨哈龙·谢拉赫证明该问题独立于 ZFC：在哥德尔可构成宇宙 $V = L$ 中为真，而在马丁公理加 $\neg\text{CH}$ 下为假。独立于公理系统
41. 1957
    关于群环的卡普兰斯基猜想代数学. 这些猜想可追溯至格雷厄姆·希格曼1940年的学位论文，并由欧文·卡普兰斯基在1956年的谢尔特岛会议上推广。它们提出无挠群的群环在结构上应如整环般“干净”。2021年2月，贾尔斯·加达姆通过在普罗米斯洛群 $P$ 的群环 $\mathbb{F}_2[P]$ 中构造显式单位元，否定了单位猜想，随后该结果被推广到所有特征；零因子猜想与幂等元猜想在一般情形下仍未解决，但已对许多群类得到证明。部分解决
42. 1957
    三维渗流相变的连续性概率与统计. 布罗德本特与哈默斯利于1957年引入渗流理论以刻画流体在随机介质中的流动；渗流概率 $\theta(p)$ 在临界点 $p_c$ 处是否无跃变（即连续的“二级”相变）在 $2$ 维以及 $d \ge 11$ 时已借助蕾丝展开证明，但对具有物理意义的 $d = 3$ 情形仍是著名的开放问题。未解决
43. 1958
    欣策尔假设 H 与布尼亚科夫斯基猜想算术与数论. 维克托·布尼亚科夫斯基于1857年猜想:首项系数为正且无固定素因子的单个不可约整系数多项式 $f(x)$ 能表示无穷多个素数;一个世纪后的1958年,安杰伊·欣策尔与瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基将其推广到此类多项式的有限族(假设 H)。目前唯一完全获证的情形是单个一次多项式($k=1, \deg f_1 = 1$),即关于算术级数的狄利克雷定理。假设 H 统一了素数理论中许多最深刻的未决问题:$f_1(x)=x, f_2(x)=x+2$ 给出孪生素数猜想,$f_1(x)=x, f_2(x)=2x+1$ 给出索菲·热尔曼素数的无穷性,而 $f_1(x)=x^2+1$ 则给出兰道第四问题。未解决
44. 1958
    森多夫猜想分析学. 追问零点全在闭单位圆盘内的复多项式的每个零点距离某个临界点是否都不超过 $1$；已对次数 $n \le 8$ 及所有充分大的次数 $n \ge n_0$ 获证。部分解决
45. 1959
    卡迪森-辛格问题分析学. 对角子代数 $\ell^\infty(\mathbb{N})$ 上的每个纯态都能唯一延拓为 $\mathcal{B}(\ell^2(\mathbb{N}))$ 上的纯态，于2013年借助交错多项式族获证。已解决
46. 1960
    凯尔瓦尔不变量1问题拓扑学. 凯尔瓦尔不变量为1的光滑闭标架流形存在于维数 $2, 6, 14, 30, 62$ 以及（据2024年预印本）$126$，而在更高维数中均不存在。已解决
47. 1960
    佐藤–泰特猜想算术与数论. 当素数 $p$ 变化时，无复乘法椭圆曲线的点数 $\#E(\mathbb{F}_p)$ 如何在 $p + 1$ 附近波动？该猜想由佐藤干夫与约翰·泰特于1960年前后独立提出，断言归一化弗罗贝尼乌斯角服从 $\frac{2}{\pi} \sin^2 \theta \, d\theta$ 分布，最终在2008年至2011年间由克洛泽尔、哈里斯、谢泼德-巴伦、泰勒、巴内特-兰姆和格拉蒂完全解决。已解决
48. 1960
    埃尔德什–拉多向日葵猜想组合数学与离散数学. 不含两两交集完全相同的 $r$ 个集合（向日葵）的 $w$ 元集族最大能有多大？保罗·埃尔德什与理查德·拉多于1960年给出了阶乘界 $w! (r - 1)^w$ 并提出该猜想；2019年阿尔韦斯、洛维特、吴克文与张家鹏取得了里程碑式突破（后精化为 $(C r \log w)^w$），但纯指数上界 $C_r^w$ 仍悬而未决。埃尔德什未解决
49. 1961
    四维光滑庞加莱猜想拓扑学. 广义庞加莱猜想在所有维度与范畴中仅存的未决情形：$4$ 维球面 $S^4$ 是否存在怪异光滑结构，抑或每一个光滑同伦 $4$ 维球面都与标准 $S^4$ 微分同胚？未解决
50. 1963
    洛伦兹吸引子的存在性微分方程与动力系统. 证明经典洛伦兹微分方程组确实拥有稳健的混沌奇异吸引子，由沃里克·塔克通过严格的计算机辅助证明解决了斯梅尔第14问题。斯梅尔 #14已解决
51. 1963
    林格尔猜想（优美分解）组合数学与离散数学. 任意具有 $n$ 条边的树都能以边不相交的方式在完全图 $K_{2n+1}$ 中恰好装入 $2n+1$ 个副本；2020年由蒙哥马利、波克罗夫斯基和苏达科夫对所有充分大的 $n$ 给出了证明。已解决
52. 1963
    塔特猜想算术与数论, 几何学. 该猜想由约翰·塔特于1963年伍兹霍尔会议上提出，是霍奇猜想的算术类比，询问每个伽罗瓦不变的 $\ell$-进上同调类是否都来自代数闭链。该猜想已在有限域（塔特，1966年）与数域（法尔廷斯，1983年）上的阿贝尔簇因子以及 K3 曲面上得到证明，但对一般簇上更高余维的闭链仍未解决。未解决
53. 1964
    切尔尼猜想（同步自动机）组合数学与离散数学, 应用与计算数学. 如果一个具有 $n$ 个状态的有限自动机无论从哪个初始状态出发都能被复位到单一状态，那么最坏情况下最短复位词需要多长？扬·切尔尼于1964年猜想 $(n-1)^2$ 总是足够的，然而目前已知的最优一般上界仍然是 $n$ 的三次方量级。未解决
54. 1965
    贝赫和斯维讷通-戴尔猜想算术与数论. 预测椭圆曲线有理点的秩等于其L函数在s=1处的零点阶数——目前仅在该阶数为0或1时得到证明。千禧年未解决
55. 1966
    爱因斯坦问题（非周期单砖）几何学. 2023年获肯定解决：大卫·史密斯、约瑟夫·塞缪尔·迈尔斯、克雷格·S·卡普兰和哈伊姆·古德曼-施特劳斯发现了13边形“帽子”（hat）多鸢形砖以及严格手性的“幽灵”（Spectre）单砖。已解决
56. 1966
    莫泽蠕虫问题几何学. 通过旋转和平移能覆盖所有长度为 $1$ 的曲线的平面图形，其最小面积是多少？最小面积至今未决，凸覆盖的面积界于 $0.232239$ 与 $\pi/12 \approx 0.2618$ 之间（非凸覆盖上界为 $0.260437$）。未解决
57. 1966
    移动沙发问题几何学, 应用与计算数学. 能够转过宽度为 $1$ 的走廊直角拐角的最大二维图形面积是多少？格弗由18段曲线构成的沙发面积达到 $\approx 2.2195$，而白真言于2024年11月发布的里程碑式预印本宣称完全证明了其最优性。未解决
58. 1966
    沙努埃尔猜想算术与数论, 代数学. 沙努埃尔猜想由斯蒂芬·沙努埃尔于20世纪60年代在耶鲁大学的一门课程中提出,并发表于塞尔日·兰的著作 Introduction to Transcendental Numbers (1966年)中,是关于指数函数的超越数论的核心统一猜想。它不仅囊括了林德曼–魏尔斯特拉斯定理(当 $z_1, \dots, z_n$ 为代数数时)、关于代数数对数线性无关性的贝克定理(当 $e^{z_1}, \dots, e^{z_n}$ 为代数数时)以及格尔丰德–施奈德定理,还蕴含了 $e$ 与 $\pi$ 的代数无关性以及 $e + \pi$、$e\pi$、$e^e$、$\pi^e$ 的超越性等重大未解决问题。目前仅 $n = 1$ 的情形(埃尔米特–林德曼定理)以及所有 $z_i$ 或所有 $e^{z_i}$ 为代数数的特殊情形得到了完整证明。未解决
59. 1967
    优美树猜想组合数学与离散数学. 能否将任意 $m$ 边树的顶点用 $0$ 到 $m$ 中的不同整数标号，使得各边两端标号差的绝对值恰好取遍 $1$ 到 $m$ 的每个整数？该猜想由林格尔、科齐格与罗萨在20世纪60年代提出，尽管已对最多 $35$ 个顶点的树完成计算机验证且林格尔分解猜想已于2020年获渐近解决，它本身至今仍未解决。未解决
60. 1967
    朗兰兹纲领算术与数论, 代数学. 连接数论、表示论与代数几何的宏大统一猜想网络；函数域上的 $\mathrm{GL}_n$ 情形及非分歧几何朗兰兹猜想（2024）已获证明，但数域上的一般互反律与函子性仍未解决。部分解决
61. 1967
    孤独跑者猜想组合数学与离散数学, 算术与数论. 由约尔格·维尔斯（1967年）和托马斯·库西克（1974年）独立提出，孤独跑者猜想问：在圆形跑道上以不同恒定速度奔跑的每个跑者，是否总有某个时刻与所有其他跑者的距离均不小于 $\frac{1}{n}$？从2001年到2026年，该猜想已对 $n \le 13$ 名跑者得到验证，但一般情形仍未解决。未解决
62. 1968
    埃利奥特–哈尔伯斯塔姆猜想算术与数论, 分析学. 广义黎曼猜想预测,对每个模 $q \le x^{1/2-\varepsilon}$,不超过 $x$ 的素数在模 $q$ 的 $\varphi(q)$ 个互素同余类中以平方根量级的误差均匀分布。1965年,恩里科·邦别里与 A. I. 维诺格拉多夫无条件地证明了这一平方根分布水平 $\theta = 1/2$ 在对 $q$ 取平均的意义下成立。1968年,彼得·埃利奥特与海尼·哈尔伯斯塔姆猜想:在对 $q$ 取平均时,分布水平实际上可一直延伸到任意 $\theta < 1$——这甚至超越了广义黎曼猜想对单个模所能给出的范围。该猜想是现代筛法的核心解析输入:戈德斯顿、平茨与耶尔德勒姆以及后来的梅纳德和 Polymath8 证明了它蕴含素数间的有界间隔可缩至 $12$(在其广义形式下可缩至 $6$)。未解决
63. 1968
    虚拟哈肯猜想拓扑学. 每个具有无限基本群的闭不可约三维流形都有一个包含嵌入不可压缩曲面的有限叶覆盖。已解决
64. 1969
    格罗滕迪克代数闭链标准猜想几何学, 代数学. 格罗滕迪克于1968年提出标准猜想，意在为动机理论建立框架，猜想深刻地揭示了代数闭链与上同调之间的结构性联系。这些猜想已在曲线、曲面、阿贝尔簇及某些超凯勒流形上得到证明，但在一般光滑射影簇上仍未解决——尽管德利涅1974年证明韦伊猜想时绕开了它们。未解决
65. 1969
    矩阵乘法指数 $\omega$应用与计算数学, 代数学. 自1969年施特拉森证明 $\omega < \log_2 7 \approx 2.8074$ 以来，激光法的不断改进已将上界降至 $\omega < 2.371177$，而平凡下界 $\omega \ge 2$ 仍未改变；多数研究者猜测 $\omega = 2$。未解决
66. 1971
    图同构问题的计算复杂性应用与计算数学, 组合数学与离散数学. 追问图同构问题能否在多项式时间（$\mathsf{P}$）内求解；拉斯洛·巴拜于2015–2017年证明其可在拟多项式时间 $\exp((\log n)^{O(1)})$ 内求解。未解决
67. 1971
    P与NP问题应用与计算数学, 数学基础. 追问每个能被快速验证解的问题,是否也能被快速求解——这是计算复杂性理论的核心开放问题,悬赏克雷千禧年大奖。千禧年未解决
68. 1972
    埃尔德什–费伯–洛瓦兹猜想组合数学与离散数学. 两两至多共享一个顶点的 $n$ 个 $n$ 阶团的并图是否总能用 $n$ 种颜色进行正常顶点染色？该猜想由保罗·埃尔德什、万斯·费伯与拉斯洛·洛瓦兹于1972年提出，姜东烨（Dong Yeap Kang）、汤姆·凯利、丹妮拉·库恩、阿比舍克·梅图库与德雷克·奥斯特胡斯于2021年对所有充分大的 $n$ 给出了证明（2023年发表于 Annals of Mathematics）；小规模情形 $n \le 12$ 已由计算机验证，仅剩中间有限范围内的 $n$ 尚未完全敲定。埃尔德什已解决
69. 1973
    关于等差数列的埃尔德什猜想算术与数论, 组合数学与离散数学. 若倒数和满足 $\sum_{n \in A} \frac{1}{n} = \infty$，$A$ 是否必然包含任意长度的等差数列？$k = 3$ 的情形已由托马斯·布卢姆和奥洛夫·西萨斯克（2020）证明，而 $k \ge 4$ 的所有情形仍悬而未决。埃尔德什未解决
70. 1977
    埃尔德什–哈伊纳尔猜想组合数学与离散数学. 一般 $n$ 顶点图仅能保证含有对数规模 $\Theta(\log n)$ 的团或独立集，而保罗·埃尔德什与安德拉什·哈伊纳尔于1977年猜想：只要禁止任意固定的诱导子图 $H$，就会迫使图中出现多项式规模 $n^{\delta_H}$ 的团或独立集。埃尔德什未解决
71. 1979
    并闭集猜想（弗兰克尔猜想）组合数学与离散数学. 在任意非平凡有限并闭集族 $\mathcal{F} \neq \{\emptyset\}$ 中，是否必然存在某个元素出现在至少 $\frac{1}{2}$ 的集合中？该猜想由彼得·弗兰克尔于1979年提出，2022年贾斯汀·吉尔默利用香农熵证明了首个常数下界（$0.01$，随后迅速推进至 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2} \approx 0.382$），但 $\frac{1}{2}$ 的最终目标仍未解决。未解决
72. 1982
    曼德博集合局部连通性猜想（MLC）微分方程与动力系统, 分析学. 追问曼德博集合 $M \subset \mathbb{C}$ 是否局部连通——若成立，将给出 $M$ 的完整组合模型并推出双曲二次多项式的稠密性。未解决
73. 1985
    abc猜想算术与数论. 预测对互素的 $a+b=c$,$c$ 很少会远大于 $abc$ 的不同素因子之积——1985年提出;2012年一项有争议的证明声明于2021年发表,但尚未被大多数数论学家接受。未解决
74. 1985
    双层床猜想组合数学与离散数学, 概率与统计. 在由竖直支柱连接的两个相同叠层图上的渗流模型中，同层连通的概率是否总是至少与跨层连通的概率一样大？由卡斯特莱因于1985年提出，2024年被格拉德科夫、帕克和齐明推翻。已被证伪
75. 1987
    朗兰兹纲领的基本引理算术与数论, 代数学. 基本引理是约化群与其内窥群之间轨道积分的一个组合恒等式,由朗兰兹(Robert Langlands)和谢尔斯塔德(Diana Shelstad)提出猜想。它是稳定阿瑟-塞尔伯格迹公式(联系不同群上自守表示的主要工具)所缺的最后一块。吴宝珠(Ngô Bảo Châu)将该恒等式重新诠释为关于希钦纤维化上同调的几何命题,从而在一般情形下证明了它。吴宝吴宝珠, 2008
76. 1992
    敏感度猜想组合数学与离散数学, 应用与计算数学. 布尔函数的敏感度 $s(f)$ 是否与其块敏感度、多项式次数及决策树深度多项式相关？该问题由诺姆·尼桑和马里奥·塞格迪于1992年提出，并由戈茨曼和利尼亚尔化归为超立方体导出子图问题，最终由黄皓在2019年以两页纸的精妙证明解决，证明了 $Q_n$ 的任意 $(2^{n-1} + 1)$ 顶点导出子图满足 $\Delta(H) \ge \sqrt{n}$。已解决
77. 1993
    比尔猜想算术与数论. 该猜想由达拉斯银行家兼业余数学家安德鲁·比尔于1993年在研究费马大定理的推广时提出,断言当三个指数都满足 $x, y, z \ge 3$ 时,广义费马方程 $A^x + B^y = C^z$ 没有两两互素的正整数解 $A, B, C$。条件 $x, y, z > 2$ 是精确的,因为 $1^n + 2^3 = 3^2$ 以及诸如 $2^3 + 2^3 = 2^4$(底数共享素因子 $2$)之类的恒等式表明,指数下界和互素假设都不可或缺。美国数学学会(AMS)代管由比尔出资的 USD $1{,}000{,}000$ 奖金,以奖励对该猜想的证明或反例。未解决
78. 1995
    帽集问题（Cap set 问题）组合数学与离散数学. $\mathbb{F}_3^n$ 中不含仿射直线的子集最大能有多大？2016年，埃伦伯格和海斯维特推广了克鲁特、列夫与帕赫的多项式方法，证明了指数上界 $r_3(\mathbb{F}_3^n) = O(2.756^n)$，从而解决了这一问题。已解决
79. 1997
    体积猜想（纽结理论）拓扑学. 由里纳特·卡沙耶夫（1997年）及村上齐、村上顺（2001年）提出，预测 $N$-染色琼斯多项式在单位根 $e^{2\pi i/N}$ 处的渐近增长率恰好给出纽结补空间的双曲体积。未解决

当代

1. 2000
   纳维-斯托克斯方程解的存在性与光滑性微分方程与动力系统. 追问三维不可压缩纳维-斯托克斯方程是否总能从光滑初始数据得到全局定义的光滑解,还是可能在有限时间内爆破——克雷千禧年大奖七大难题之一。千禧年斯梅尔 #15未解决
2. 2000
   杨-米尔斯存在性与质量间隙数学物理, 分析学. 经典杨-米尔斯场像光子一样没有质量,然而在量子世界中,它们所描述的强核力却是短程力,并将胶子和夸克束缚成有质量的粒子。严格从数学上构造四维量子杨-米尔斯理论并证明其质量间隙 $\Delta > 0$,是克雷数学研究所七个千禧年大奖难题之一。千禧年未解决
3. 2002
   唯一博弈猜想应用与计算数学. 由苏巴什·科特于2002年提出的唯一博弈猜想断言，近似求解一类具有双射约束、看似简单的约束满足问题是NP困难的；若该猜想成立，则意味着标准半正定规划松弛对最大割、顶点覆盖以及所有约束满足问题都能达到最优近似比。未解决