第2問

三角形の辺の長さを

a

、

b

、

c

、対応する角を

\alpha

、

\beta

、

\gamma

とする。

a+b=\tan\frac{\gamma}{2}\left(a\tan\alpha+b\tan\beta\right)

が成り立つとき、この三角形が二等辺三角形であることを証明せよ。

ステップ 1/6: 仮定からタンジェントを払う

前のステップ次のステップ

ざっくり言うと

タンジェントが混在した等式を正弦・余弦だけの多項式の等式に変えることで、次のステップで加法定理が使えるようになる。

(a+b)\cos\alpha\cos\beta\cos\frac{\gamma}{2} = a\sin\alpha\cos\beta\sin\frac{\gamma}{2} + b\cos\alpha\sin\beta\sin\frac{\gamma}{2}

詳しい解説

$a+b=\tan\frac{\gamma}{2}(a\tan\alpha+b\tan\beta)$ において $\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ 、 $\tan\beta=\frac{\sin\beta}{\cos\beta}$ 、 $\tan\frac{\gamma}{2}=\frac{\sin(\gamma/2)}{\cos(\gamma/2)}$ と書き直し、両辺に $\cos\alpha\cos\beta\cos\frac{\gamma}{2}$ を掛けてすべての分母を払う。