コンテスト › 国際数学オリンピック › 1966年 第1問 ある数学オリンピックで3問 A A A B B B C C C A A A B B B A A A C C C A A A A A A A A A B B B 解答: 1 第2問 三角形の辺の長さを a a a b b b c c c α \alpha α β \beta β γ \gamma γ a + b = tan γ 2 ( a tan α + b tan β ) a+b=\tan\frac{\gamma}{2}\left(a\tan\alpha+b\tan\beta\right) a + b = tan 2 γ ( a tan α + b tan β ) 解答: 1 第3問 正四面体の各頂点から外接球の中心までの距離の和は、これらの頂点から空間内の他のどの点までの距離の和よりも小さいことを証明せよ。 解答: 1 第4問 任意の自然数 n n n x x x t = 0 , 1 , … , n t=0,1,\dots,n t = 0 , 1 , … , n k k k x ≠ k π 2 t x\ne \frac{k\pi}{2^t} x = 2 t k π 1 sin 2 x + 1 sin 4 x + 1 sin 8 x + ⋯ + 1 sin 2 n x = cot x − cot 2 n x . \frac{1}{\sin 2x}+\frac{1}{\sin 4x}+\frac{1}{\sin 8x}+\cdots+\frac{1}{\sin 2^nx} = \cot x - \cot 2^nx. sin 2 x 1 + sin 4 x 1 + sin 8 x 1 + ⋯ + sin 2 n x 1 = cot x − cot 2 n x . 解答: 1 第5問 実数 a 1 a_1 a 1 a 2 a_2 a 2 a 3 a_3 a 3 a 4 a_4 a 4 x 1 x_1 x 1 x 2 x_2 x 2 x 3 x_3 x 3 x 4 x_4 x 4 ∣ a 1 − a 2 ∣ x 2 + ∣ a 1 − a 3 ∣ x 3 + ∣ a 1 − a 4 ∣ x 4 = 1 ∣ a 2 − a 1 ∣ x 1 + ∣ a 2 − a 3 ∣ x 3 + ∣ a 2 − a 4 ∣ x 4 = 1 ∣ a 3 − a 1 ∣ x 1 + ∣ a 3 − a 2 ∣ x 2 + ∣ a 3 − a 4 ∣ x 4 = 1 ∣ a 4 − a 1 ∣ x 1 + ∣ a 4 − a 2 ∣ x 2 + ∣ a 4 − a 3 ∣ x 3 = 1 \begin{aligned} |a_1-a_2|x_2 + |a_1-a_3|x_3 + |a_1-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_2-a_1|x_1 + |a_2-a_3|x_3 + |a_2-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_3-a_1|x_1 + |a_3-a_2|x_2 + |a_3-a_4|x_4 &= 1 \\ |a_4-a_1|x_1 + |a_4-a_2|x_2 + |a_4-a_3|x_3 &= 1 \end{aligned} ∣ a 1 − a 2 ∣ x 2 + ∣ a 1 − a 3 ∣ x 3 + ∣ a 1 − a 4 ∣ x 4 ∣ a 2 − a 1 ∣ x 1 + ∣ a 2 − a 3 ∣ x 3 + ∣ a 2 − a 4 ∣ x 4 ∣ a 3 − a 1 ∣ x 1 + ∣ a 3 − a 2 ∣ x 2 + ∣ a 3 − a 4 ∣ x 4 ∣ a 4 − a 1 ∣ x 1 + ∣ a 4 − a 2 ∣ x 2 + ∣ a 4 − a 3 ∣ x 3 = 1 = 1 = 1 = 1 解答: 1 第6問 三角形 A B C ABC A B C A B AB A B B C BC B C C A CA C A M M M K K K L L L △ A M L \triangle AML △ A M L △ K B M \triangle KBM △ K B M △ L C K \triangle LCK △ L C K A B C ABC A B C 解答: 1 ホーム ライブラリ 重要問題 クイズ 数学者 コンテスト