MathLabs

第3問

未知数 x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n に関する次の連立方程式を考える。ここで a,b,ca, b, c は実数で a≠0a \neq 0 とする: ax12+bx1+c=x2,ax22+bx2+c=x3,…,axn−12+bxn−1+c=xn,axn2+bxn+c=x1.ax_1^2+bx_1+c=x_2,\quad ax_2^2+bx_2+c=x_3,\quad \ldots,\quad ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c=x_n,\quad ax_n^2+bx_n+c=x_1. Δ=(b−1)2−4ac\Delta=(b-1)^2-4ac とおく。次を証明せよ:(a) Δ<0\Delta<0 ならば解は存在しない;(b) Δ=0\Delta=0 ならば解はちょうど1つである;(c) Δ>0\Delta>0 ならば解は2つ以上存在する。
ステップ 1/5: n 個の方程式をすべて足して、1つの総和条件を得る
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

巡回的な方程式の連鎖を足し合わせるのは古典的な手筋である。各 xix_i は左辺(2次式の中)に1回、右辺(1次)に1回現れ、巡回シフトにより右辺の和は同じ変数を並べ替えたものにすぎないことが保証されるため、左辺の一部と相殺できる。

s(t):=at2+(b−1)t+c  ⟹  ∑i=1ns(xi)=∑i=1n(axi2+(b−1)xi+c)=0s(t):=at^2+(b-1)t+c \;\Longrightarrow\; \sum_{i=1}^n s(x_i)=\sum_{i=1}^n\bigl(ax_i^2+(b-1)x_i+c\bigr)=0
詳しい解説

系の各方程式を書き直し、nn 個の方程式をすべて足し合わせる:∑i=1n(axi2+bxi+c)=∑i=1nxi+1=∑i=1nxi\sum_{i=1}^n\bigl(ax_i^2+bx_i+c\bigr)=\sum_{i=1}^n x_{i+1}=\sum_{i=1}^n x_i(添字は巡回的にずれるが、同じ項の集合を尽くしている)。右辺の和を左辺に移すと ∑i=1n(axi2+(b−1)xi+c)=0\sum_{i=1}^n\bigl(ax_i^2+(b-1)x_i+c\bigr)=0 が得られる。s(t)=at2+(b−1)t+cs(t)=at^2+(b-1)t+c と定義すれば、これはまさに ∑i=1ns(xi)=0\sum_{i=1}^n s(x_i)=0 である。