Math Labs

Bài 3

Xét hệ phương trình sau với các ẩn x1,x2,…,xnx_1, x_2, \ldots, x_n, trong đó a,b,ca, b, c là các số thực và a≠0a \neq 0: ax12+bx1+c=x2,ax22+bx2+c=x3,…,axn−12+bxn−1+c=xn,axn2+bxn+c=x1.ax_1^2+bx_1+c=x_2,\quad ax_2^2+bx_2+c=x_3,\quad \ldots,\quad ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c=x_n,\quad ax_n^2+bx_n+c=x_1. Đặt Δ=(b−1)2−4ac\Delta=(b-1)^2-4ac. Chứng minh rằng: (a) nếu Δ<0\Delta<0 thì hệ vô nghiệm; (b) nếu Δ=0\Delta=0 thì hệ có đúng một nghiệm; (c) nếu Δ>0\Delta>0 thì hệ có nhiều hơn một nghiệm.
Bước 1 trên 5: Cộng cả n phương trình để được một điều kiện tổng duy nhất
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Cộng một chuỗi phương trình vòng quanh là một mẹo kinh điển: mỗi xix_i xuất hiện một lần ở vế trái (trong một biểu thức bậc hai) và một lần ở vế phải (tuyến tính), và phép dịch vòng quanh đảm bảo tổng vế phải chỉ là một cách sắp xếp lại của cùng các biến, nên có thể triệt tiêu với một phần của vế trái.

s(t):=at2+(b−1)t+c  ⟹  ∑i=1ns(xi)=∑i=1n(axi2+(b−1)xi+c)=0s(t):=at^2+(b-1)t+c \;\Longrightarrow\; \sum_{i=1}^n s(x_i)=\sum_{i=1}^n\bigl(ax_i^2+(b-1)x_i+c\bigr)=0
Phân tích chi tiết

Cộng cả nn phương trình lại: ∑i=1n(axi2+bxi+c)=∑i=1nxi+1=∑i=1nxi\sum_{i=1}^n\bigl(ax_i^2+bx_i+c\bigr)=\sum_{i=1}^n x_{i+1}=\sum_{i=1}^n x_i (chỉ số dịch vòng quanh nhưng vẫn phủ đúng tập các số hạng). Chuyển tổng vế phải sang trái, ta được ∑i=1n(axi2+(b−1)xi+c)=0\sum_{i=1}^n\bigl(ax_i^2+(b-1)x_i+c\bigr)=0. Đặt s(t)=at2+(b−1)t+cs(t)=at^2+(b-1)t+c, điều này chính là ∑i=1ns(xi)=0\sum_{i=1}^n s(x_i)=0.