国際数学オリンピック · 1968年

問題

第1問辺の長さが連続する3つの整数であり、ある1つの角が別の角のちょうど2倍になっている三角形が、ちょうど1つだけ存在することを証明せよ。解答: 1
第2問十進法で表したときの各桁の数字の積が $x^2 - 10x - 22$ に等しくなるような、すべての自然数 $x$ を求めよ。解答: 1
第3問未知数 $x_1, x_2, \ldots, x_n$ に関する次の連立方程式を考える。ここで $a, b, c$ は実数で $a \neq 0$ とする: $ax_1^2+bx_1+c=x_2,\quad ax_2^2+bx_2+c=x_3,\quad \ldots,\quad ax_{n-1}^2+bx_{n-1}+c=x_n,\quad ax_n^2+bx_n+c=x_1.$ $\Delta=(b-1)^2-4ac$ とおく。次を証明せよ:(a) $\Delta<0$ ならば解は存在しない;(b) $\Delta=0$ ならば解はちょうど1つである;(c) $\Delta>0$ ならば解は2つ以上存在する。解答: 1
第4問任意の四面体には、その頂点に集まる3本の辺の長さが三角形の3辺となるような頂点が少なくとも1つ存在することを証明せよ。解答: 1
第5問すべての実数 $x$ で定義された実数値関数 $f$ があり、ある正の定数 $a$ に対して、すべての $x$ について $f(x+a)=\frac12+\sqrt{f(x)-f(x)^2}$ が成り立つとする。(a) $f$ が周期関数であることを証明せよ。(b) $a=1$ の場合に、条件を満たす非定数関数の例を与えよ。解答: 1
第6問 $[x]$ を $x$ 以下の最大の整数とする。正整数 $n$ に対し、 $[\frac{n+1}{2}]+[\frac{n+2}{4}]+[\frac{n+4}{8}]+\cdots$ を $n$ の関数として表せ。解答: 1