MathLabs

第3問

任意の非負整数 mm と nn について、(2m)!(2n)!m!n!(m+n)!\dfrac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!} が整数であることを証明せよ。(0!=10!=1)。
ステップ 2/4: 隣接値を比較する
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

隣接する階乗比は単純な有理因子だけ異なる。

f(m,n−1)=f(m,n)m+n2(2n−1),f(m+1,n−1)=f(m,n)2m+12n−1f(m,n-1)=f(m,n)\dfrac{m+n}{2(2n-1)},\quad f(m+1,n-1)=f(m,n)\dfrac{2m+1}{2n-1}
詳しい解説

n≥1n\ge1 では階乗を直接約分する。隣接する2式の不足因子から表示の2つの等式が得られる。