MathLabs

国際数学オリンピック · 1972年

問題

  1. 第1問10個の相異なる2桁の数(十進法)からなる集合から、要素の総和が等しい2つの互いに素な部分集合を選び出せることを証明せよ。解答: 1
  2. 第2問円に内接できる任意の四角形は、任意の nn（n≥4n\ge4）個の、それぞれ円に内接できる四角形に分割できることを証明せよ。解答: 1
  3. 第3問任意の非負整数 mm と nn について、(2m)!(2n)!m!n!(m+n)!\dfrac{(2m)!(2n)!}{m!n!(m+n)!} が整数であることを証明せよ。(0!=10!=1)。解答: 1
  4. 第4問正の実数 (x1,x2,x3,x4,x5)(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) で、(x12−x3x5)(x22−x3x5)≤0(x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5)\le0、(x22−x4x1)(x32−x4x1)≤0(x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1)\le0、(x32−x5x2)(x42−x5x2)≤0(x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2)\le0、(x42−x1x3)(x52−x1x3)≤0(x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3)\le0、(x52−x2x4)(x12−x2x4)≤0(x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4)\le0 を満たすものをすべて求めよ。解答: 1
  5. 第5問実数値関数 ff と gg がすべての実数 x,yx,y で f(x+y)+f(x−y)=2f(x)g(y)f(x+y)+f(x-y)=2f(x)g(y) を満たすとする。すべての x,yx,y でこの式を満たし、ff が恒等的に0でなく、すべての xx で ∣f(x)∣≤1|f(x)|\le1 ならば、すべての yy で ∣g(y)∣≤1|g(y)|\le1 を証明せよ。解答: 1
  6. 第6問相異なる4枚の平行平面が与えられている。それぞれの平面上に1つずつ頂点をもつ正四面体が存在することを証明せよ。解答: 1