第4問

正の実数

(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)

で、

(x_1^2-x_3x_5)(x_2^2-x_3x_5)\le0

、

(x_2^2-x_4x_1)(x_3^2-x_4x_1)\le0

、

(x_3^2-x_5x_2)(x_4^2-x_5x_2)\le0

、

(x_4^2-x_1x_3)(x_5^2-x_1x_3)\le0

、

(x_5^2-x_2x_4)(x_1^2-x_2x_4)\le0

を満たすものをすべて求めよ。

ステップ 4/4: 解を述べて確認する

ざっくり言うと

平方和恒等式が必要性を、代入が十分性を示す。

(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=(t,t,t,t,t),\quad t>0

詳しい解説

等式の連鎖により5変数はすべて等しい。逆に任意の $t>0$ では元の各積が0になるので、解集合は $(t,t,t,t,t)$ である。