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第5問

GG を、実数係数 a,ba,b を用いる非定数アフィン関数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R（f(x)=ax+bf(x)=ax+b、a≠0a\ne0）の集合とする。f,g∈Gf,g\in G なら g∘f∈Gg\circ f\in G、各 f∈Gf\in G の逆関数 f−1f^{-1} も GG に属し、各 f∈Gf\in G は不動点をもつと仮定する。すべての関数を固定する k∈Rk\in\mathbb R が存在することを証明せよ。
ステップ 1/4: 不動点と逆関数
前のステップ次のステップ
ざっくり言うと

傾き一のアフィン写像は恒等写像の場合だけ不動点を持つ。

f(x)=ax+b,f−1(x)=x/a−b/af(x)=ax+b, f^{-1}(x)=x/a-b/a
詳しい解説

a=1a=1 なら不動点の存在から b=0b=0、従って ff は恒等写像である。a≠1a\ne1 なら唯一の不動点は b/(1−a)b/(1-a) である。