Math Labs

Bài 5

Cho GG là tập các hàm không hằng f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R dạng f(x)=ax+bf(x)=ax+b, với a,ba,b thực và a≠0a\ne0. Giả sử: nếu f,g∈Gf,g\in G thì g∘f∈Gg\circ f\in G; mọi hàm ngược f−1f^{-1} cũng thuộc GG; và mỗi f∈Gf\in G có điểm bất động. Chứng minh tồn tại k∈Rk\in\mathbb R là điểm bất động của mọi f∈Gf\in G.
Bước 1 trên 4: Điểm bất động và hàm ngược
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Hàm affine hệ số góc một chỉ có điểm bất động khi là đồng nhất.

f(x)=ax+b,f−1(x)=x/a−b/af(x)=ax+b, f^{-1}(x)=x/a-b/a
Phân tích chi tiết

Nếu a=1a=1, có điểm bất động buộc b=0b=0, nên ff là đồng nhất. Nếu a≠1a\ne1, điểm bất động duy nhất là b/(1−a)b/(1-a).