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国際数学オリンピック · 1973年

問題

  1. 第1問点 OO は直線 ll 上にある。ベクトル OP1→,…,OPn→\overrightarrow{OP_1},\ldots,\overrightarrow{OP_n} は単位ベクトルで、点 PiP_i と直線 ll は同一平面内にあり、すべての PiP_i は ll が定める同じ半平面にある。nn が奇数のとき、∣∑i=1nOPi→∣≥1\left|\sum_{i=1}^n\overrightarrow{OP_i}\right|\ge 1 を証明せよ。解答: 1
  2. 第2問空間内の、同一平面上にない有限点集合 MM で、任意の二点 A,B∈MA,B\in M に対して、A,B とは異なる二点 C,D∈MC,D\in M が存在し、直線 ABAB と直線 CDCD が平行だが一致しないものは存在するか。解答: 1
  3. 第3問実数 a,ba,b に対し、方程式 x4+ax3+bx2+ax+1=0x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 が少なくとも一つの実根を持つとき、a2+b2a^2+b^2 の最小値を求めよ。解答: 1
  4. 第4問兵士が正三角形の地域の地雷を調べる。探知機の作用半径は三角形の高さの半分で、兵士は一つの頂点から出発する。全域を調べる最短経路を求めよ。解答: 1
  5. 第5問GG を、実数係数 a,ba,b を用いる非定数アフィン関数 f:R→Rf:\mathbb R\to\mathbb R（f(x)=ax+bf(x)=ax+b、a≠0a\ne0）の集合とする。f,g∈Gf,g\in G なら g∘f∈Gg\circ f\in G、各 f∈Gf\in G の逆関数 f−1f^{-1} も GG に属し、各 f∈Gf\in G は不動点をもつと仮定する。すべての関数を固定する k∈Rk\in\mathbb R が存在することを証明せよ。解答: 1
  6. 第6問正数 a1,…,ana_1,\ldots,a_n と 0<q<10<q<1 が与えられる。 (1) 全ての b1,…,bnb_1,\ldots,b_n で ak<bka_k<b_k、(2) kk で q<bk+1/bk<1/qq<b_{k+1}/b_k<1/q、(3) k=1,…,n−1k=1,\ldots,n-1 を満たす実数 ∑k=1nbk<1+q1−q∑k=1nak\sum_{k=1}^n b_k<\frac{1+q}{1-q}\sum_{k=1}^n a_k を求めよ。解答: 1