Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1975

Đề thi

Bài 1Cho các số thực $x_1 \ge x_2 \ge \cdots \ge x_n$ và $y_1 \ge y_2 \ge \cdots \ge y_n$ . Chứng minh rằng nếu $z_1, z_2, \ldots, z_n$ là một hoán vị bất kỳ của $y_1, y_2, \ldots, y_n$ thì $\sum_{i=1}^{n} (x_i - y_i)^2 \le \sum_{i=1}^{n} (x_i - z_i)^2$ .Các cách giải: 1
Bài 2Cho $a_1, a_2, a_3, \ldots$ là một dãy tăng vô hạn các số nguyên dương. Chứng minh rằng với mỗi $p \ge 1$ , có vô số số hạng $a_m$ viết được dưới dạng $a_m = xa_p + ya_q$ với $x, y$ là các số nguyên dương và $q > p$ .Các cách giải: 1
Bài 3Trên các cạnh của một tam giác $ABC$ bất kỳ, dựng ra phía ngoài các tam giác $ABR$ , $BCP$ , $CAQ$ sao cho $\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ$ , $\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ$ , $\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ$ . Chứng minh rằng $\angle QRP = 90^\circ$ và $QR = RP$ .Các cách giải: 1
Bài 4Viết $4444^{4444}$ trong hệ thập phân, gọi $A$ là tổng các chữ số của nó. Gọi $B$ là tổng các chữ số của $A$ . Tìm tổng các chữ số của $B$ . ( $A$ và $B$ được viết trong hệ thập phân.)Các cách giải: 1
Bài 5Hãy xác định, có chứng minh, liệu có thể chọn $1975$ điểm trên đường tròn bán kính đơn vị sao cho khoảng cách giữa mọi cặp điểm đều là số hữu tỉ hay không.Các cách giải: 1
Bài 6Tìm tất cả các đa thức $P$ hai biến sao cho với số nguyên dương $n$ , $P(tx,ty)=t^nP(x,y)$ với mọi $t,x,y$ thực; $P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0$ với mọi $a,b,c$ thực; và $P(1,0)=1$ .Các cách giải: 1