Math Labs

Bài 3

Trên các cạnh của một tam giác ABCABC bất kỳ, dựng ra phía ngoài các tam giác ABRABR, BCPBCP, CAQCAQ sao cho ∠CBP=∠CAQ=45∘\angle CBP = \angle CAQ = 45^\circ, ∠BCP=∠ACQ=30∘\angle BCP = \angle ACQ = 30^\circ, ∠ABR=∠BAR=15∘\angle ABR = \angle BAR = 15^\circ. Chứng minh rằng ∠QRP=90∘\angle QRP = 90^\circ và QR=RPQR = RP.
Bước 1 trên 6: Thiết lập ba tam giác nhỏ và mục tiêu cần chứng minh
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Mỗi điểm PP, QQ, RR là đỉnh của một tam giác gắn thêm vào một cạnh của ABCABC, hướng ra ngoài. Vì mọi góc đáy liên quan (45∘,30∘,15∘45^\circ, 30^\circ, 15^\circ) đều là góc "đẹp", nên mọi độ dài PB,PC,QA,QC,RA,RBPB, PC, QA, QC, RA, RB đều viết được chính xác nhờ định lý sin, và các góc mà RPRP, RQRQ tạo ra tại RR có thể theo dõi được chỉ bằng cách cộng dồn các mảnh 45∘/30∘/15∘45^\circ/30^\circ/15^\circ đã biết quanh mỗi đỉnh của ABCABC. Cả bài toán trở thành việc tính toán bằng định lý cos.

a=BC, b=CA, c=AB;∠PBC=45∘,∠PCB=30∘; ∠QAC=45∘,∠QCA=30∘; ∠RAB=∠RBA=15∘a=BC,\ b=CA,\ c=AB;\quad \angle PBC=45^\circ,\angle PCB=30^\circ;\ \angle QAC=45^\circ,\angle QCA=30^\circ;\ \angle RAB=\angle RBA=15^\circ
Phân tích chi tiết

Gọi a=BCa=BC, b=CAb=CA, c=ABc=AB và cũng gọi A,B,CA,B,C là các góc của △ABC\triangle ABC tại các đỉnh đó. Tam giác BCPBCP có ∠PBC=45∘\angle PBC=45^\circ, ∠PCB=30∘\angle PCB=30^\circ, suy ra ∠BPC=105∘\angle BPC=105^\circ; tam giác CAQCAQ có ∠QAC=45∘\angle QAC=45^\circ, ∠QCA=30∘\angle QCA=30^\circ, suy ra ∠AQC=105∘\angle AQC=105^\circ; tam giác ABRABR có ∠RAB=∠RBA=15∘\angle RAB=\angle RBA=15^\circ, suy ra ∠ARB=150∘\angle ARB=150^\circ. Mục tiêu là ∠PRQ=90∘\angle PRQ = 90^\circ và RP=RQRP=RQ.