MathLabs

Bài 2

Cho a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots là một dãy tăng vô hạn các số nguyên dương. Chứng minh rằng với mỗi p≥1p \ge 1, có vô số số hạng ama_m viết được dưới dạng am=xap+yaqa_m = xa_p + ya_q với x,yx, y là các số nguyên dương và q>pq > p.
Bước 1 trên 4: Cố định pp và xét các số dư khi chia cho apa_p
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Khi chia cho apa_p chỉ có apa_p số dư có thể xảy ra (là 0,1,…,ap−10, 1, \ldots, a_p-1), nhưng lại có vô số số hạng của dãy sau vị trí pp. Giống như nguyên lý Dirichlet với vô số chim và hữu hạn chuồng, phải có một số dư xuất hiện vô số lần — và hai số hạng bất kỳ cùng số dư đó chênh nhau đúng một bội của apa_p, đó chính là cấu trúc mà công thức đích xap+yaqxa_p+ya_q cần.

a1<a2<a3<⋯ ,p≥1 fixeda_1<a_2<a_3<\cdots,\quad p\ge 1 \text{ fixed}
Phân tích chi tiết

Cố định p≥1p \ge 1. Với mỗi chỉ số ii, gọi rir_i là số dư của aia_i khi chia cho apa_p, do đó ri∈{0,1,…,ap−1}r_i \in \{0, 1, \ldots, a_p - 1\}: chỉ có apa_p giá trị có thể. Vì dãy a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots là vô hạn, nguyên lý Dirichlet đảm bảo có ít nhất một số dư rr xuất hiện tại vô số chỉ số ii.