MathLabs

Bài 2

Cho a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots là một dãy tăng vô hạn các số nguyên dương. Chứng minh rằng với mỗi p≥1p \ge 1, có vô số số hạng ama_m viết được dưới dạng am=xap+yaqa_m = xa_p + ya_q với x,yx, y là các số nguyên dương và q>pq > p.
Bước 2 trên 4: Chọn dãy con vô hạn có chung số dư đó
Bước trướcBước tiếp
ai1<ai2<ai3<⋯ ,aik≡r(modap)a_{i_1}<a_{i_2}<a_{i_3}<\cdots,\quad a_{i_k}\equiv r \pmod{a_p}
Phân tích chi tiết

Gọi ai1<ai2<ai3<⋯a_{i_1} < a_{i_2} < a_{i_3} < \cdots là dãy con (vô hạn) gồm tất cả các số hạng có aik≡r(modap)a_{i_k} \equiv r \pmod{a_p}. Vì dãy gốc là vô hạn, ta có thể bỏ đi hữu hạn số hạng đầu để mọi chỉ số iki_k đều thỏa ik>pi_k > p; đặt q=i1q = i_1, khi đó q>pq > p. Mọi số hạng aika_{i_k} với k≥2k \ge 2 khi đó thỏa aik≡aq≡r(modap)a_{i_k} \equiv a_q \equiv r \pmod{a_p}, nên ap∣(aik−aq)a_p \mid (a_{i_k} - a_q).