MathLabs

Bài 2

Cho a1,a2,a3,…a_1, a_2, a_3, \ldots là một dãy tăng vô hạn các số nguyên dương. Chứng minh rằng với mỗi p≥1p \ge 1, có vô số số hạng ama_m viết được dưới dạng am=xap+yaqa_m = xa_p + ya_q với x,yx, y là các số nguyên dương và q>pq > p.
Bước 3 trên 4: Chuyển tính chia hết thành dạng tuyến tính cần tìm
Bước trướcBước tiếp
aik−aq=k′ap  ⟹  aik=k′ap+1⋅aq,k′∈Z>0a_{i_k}-a_q=k'a_p \implies a_{i_k}=k'a_p+1\cdot a_q,\quad k'\in\mathbb{Z}_{>0}
Phân tích chi tiết

Cố định k≥2k \ge 2 bất kỳ và viết aik−aq=k′apa_{i_k} - a_q = k'a_p với k′k' là một số nguyên, theo Bước 2. Vì dãy con tăng ngặt nên aik>aqa_{i_k} > a_q với k≥2k \ge 2, do đó k′ap>0k'a_p > 0, và vì ap>0a_p > 0 nên k′>0k' > 0, tức k′k' là số nguyên dương. Sắp xếp lại, aik=k′⋅ap+1⋅aqa_{i_k} = k' \cdot a_p + 1 \cdot a_q. Đây chính xác là dạng đích xap+yaqxa_p + ya_q với x=k′x = k' và y=1y = 1, đều là số nguyên dương, và q>pq > p như yêu cầu.