MathLabs

Bài 6

Tìm tất cả các đa thức PP hai biến sao cho với số nguyên dương nn, P(tx,ty)=tnP(x,y)P(tx,ty)=t^nP(x,y) với mọi t,x,yt,x,y thực; P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0 với mọi a,b,ca,b,c thực; và P(1,0)=1P(1,0)=1.
Bước 2 trên 6: Tìm nhân tử tuyến tính
3P(2u,u)=0  ⟹  P(2u,u)=0  ⟹  (x−2y)∣P(x,y)3P(2u,u)=0\implies P(2u,u)=0\implies (x-2y)\mid P(x,y)
Phân tích chi tiết

Đặt a=b=c=ua=b=c=u trong đẳng thức chu kỳ, được 3P(2u,u)=03P(2u,u)=0 với mọi uu. Vậy PP triệt tiêu trên x=2yx=2y, nên x−2yx-2y chia hết PP.