MathLabs

Bài 6

Tìm tất cả các đa thức PP hai biến sao cho với số nguyên dương nn, P(tx,ty)=tnP(x,y)P(tx,ty)=t^nP(x,y) với mọi t,x,yt,x,y thực; P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0 với mọi a,b,ca,b,c thực; và P(1,0)=1P(1,0)=1.
Bước 3 trên 6: Suy ra tính bất biến của QQ
Bước trướcBước tiếp
P(x,y)=(x−2y)Q(x,y),deg⁡Q=n−1P(x,y)=(x-2y)Q(x,y),\quad \deg Q=n-1
Phân tích chi tiết

Viết P=(x−2y)QP=(x-2y)Q. Thay (a,b,c)=(a,b,b)(a,b,c)=(a,b,b) vào đẳng thức chu kỳ, được 2(a−b)[Q(a+b,b)−Q(2b,a)]=02(a-b)[Q(a+b,b)-Q(2b,a)]=0, nên Q(x,y)=Q(2y,x−y)Q(x,y)=Q(2y,x-y) với mọi x,yx,y.