MathLabs

Bài 6

Tìm tất cả các đa thức PP hai biến sao cho với số nguyên dương nn, P(tx,ty)=tnP(x,y)P(tx,ty)=t^nP(x,y) với mọi t,x,yt,x,y thực; P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0 với mọi a,b,ca,b,c thực; và P(1,0)=1P(1,0)=1.
Bước 4 trên 6: Chứng minh QQ chỉ phụ thuộc vào x+yx+y
Bước trướcBước tiếp
Q(x+d,y−d)=Q(x,y)for all dQ(x+d,y-d)=Q(x,y)\quad\text{for all }d
Phân tích chi tiết

Phép biến đổi (x,y)↦(2y,x−y)(x,y)\mapsto(2y,x-y) giữ nguyên x+yx+y và có trị riêng 1,−21,-2. Lặp lại Bước 3 cho vô số điểm (x+d,y−d)(x+d,y-d) trên cùng đường thẳng, nên đa thức theo dd, Q(x+d,y−d)−Q(x,y)Q(x+d,y-d)-Q(x,y), có vô số nghiệm và đồng nhất bằng không. Do đó Q(x+d,y−d)=Q(x,y)Q(x+d,y-d)=Q(x,y) với mọi dd thực.