MathLabs

Bài 6

Tìm tất cả các đa thức PP hai biến sao cho với số nguyên dương nn, P(tx,ty)=tnP(x,y)P(tx,ty)=t^nP(x,y) với mọi t,x,yt,x,y thực; P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0 với mọi a,b,ca,b,c thực; và P(1,0)=1P(1,0)=1.
Bước 5 trên 6: Dùng tính thuần nhất và chuẩn hóa
Bước trướcBước tiếp
Q(x,y)=Q(x+y,0)=Q(1,0)(x+y)n−1=(x+y)n−1Q(x,y)=Q(x+y,0)=Q(1,0)(x+y)^{n-1}=(x+y)^{n-1}
Phân tích chi tiết

Lấy d=yd=y trong Bước 4: Q(x,y)=Q(x+y,0)Q(x,y)=Q(x+y,0). Tính thuần nhất cho Q(x+y,0)=Q(1,0)(x+y)n−1Q(x+y,0)=Q(1,0)(x+y)^{n-1}. Vì P(1,0)=Q(1,0)=1P(1,0)=Q(1,0)=1, suy ra Q=(x+y)n−1Q=(x+y)^{n-1} và P=(x−2y)(x+y)n−1P=(x-2y)(x+y)^{n-1}.