MathLabs

Bài 6

Tìm tất cả các đa thức PP hai biến sao cho với số nguyên dương nn, P(tx,ty)=tnP(x,y)P(tx,ty)=t^nP(x,y) với mọi t,x,yt,x,y thực; P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0P(b+c,a)+P(c+a,b)+P(a+b,c)=0 với mọi a,b,ca,b,c thực; và P(1,0)=1P(1,0)=1.
Bước 6 trên 6: Kiểm tra họ nghiệm và kết thúc
Bước trướcBước tiếp
P(x,y)=(x−2y)(x+y)n−1P(x,y)=(x-2y)(x+y)^{n-1}
Phân tích chi tiết

Đa thức này thuần nhất bậc nn và có P(1,0)=1P(1,0)=1. Trong tổng chu kỳ, đặt s=a+b+cs=a+b+c: ba số hạng lần lượt là (s−3a)sn−1(s-3a)s^{n-1}, (s−3b)sn−1(s-3b)s^{n-1}, (s−3c)sn−1(s-3c)s^{n-1}; tổng của chúng bằng không. Vậy đây là toàn bộ nghiệm.