Bài 3

Một hộp có dạng hình hộp chữ nhật có thể được lấp đầy hoàn toàn bằng các khối lập phương cạnh

1

. Nếu đặt vào hộp số lượng tối đa các khối lập phương thể tích

2

, với các cạnh song song với các cạnh của hộp, thì đúng

40\%

thể tích của hộp được chiếm chỗ. Hãy xác định các kích thước có thể có của mọi hộp như vậy.

Bước 1 trên 6: Thiết lập các cạnh nguyên và số lượng khối xếp được

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Xếp các khối lập phương có cạnh vô tỉ $\sqrt[3]2$ dọc theo một cạnh nguyên luôn để lại một khoảng trống, và hàm phần nguyên là công cụ phù hợp để đếm số khối nguyên vẹn có thể xếp trước khi khoảng trống đó xuất hiện.

x=\left\lfloor\frac{a}{\sqrt[3]2}\right\rfloor,\quad y=\left\lfloor\frac{b}{\sqrt[3]2}\right\rfloor,\quad z=\left\lfloor\frac{c}{\sqrt[3]2}\right\rfloor

Phân tích chi tiết

Vì hộp có thể được lát khít bằng các khối lập phương đơn vị, các cạnh $a,b,c$ là các số nguyên dương, với thể tích $V_1=abc$ . Một khối lập phương thể tích $2$ có cạnh $\sqrt[3]2$ , và số lượng tối đa có thể xếp dọc theo cạnh có độ dài $a$ (với các cạnh song song) là $x=\left\lfloor a/\sqrt[3]2\right\rfloor$ , tương tự là $y,z$ ứng với $b,c$ . Số khối lập phương thể tích $2$ tối đa có thể xếp trong hộp là $xyz$ , nên thể tích chiếm chỗ là $V_2=2xyz$ .