Bài 6

Cho

f:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}

. Chứng minh rằng nếu

f(n+1)>f(f(n))

với mọi số nguyên dương

n

thì

f(n)=n

với mọi

n

Bước 1 trên 5: Xác lập giá trị nhỏ nhất của đuôi đầu

Bước trước Bước tiếp

Hiểu nôm na

Bất đẳng thức ngăn mọi số hạng về sau đạt giá trị nhỏ nhất.

f(m)>f(f(m-1))\quad(m>1)

Phân tích chi tiết

Với $m>1$ , áp dụng giả thiết tại $m-1$ . Khi đó $f(m)$ lớn hơn nghiêm ngặt một giá trị khác của dãy, nên không thể là giá trị nhỏ nhất của toàn dãy. Các số nguyên dương có thứ tự tốt, vì vậy giá trị nhỏ nhất duy nhất là $f(1)$ .