Olympic Toán học Quốc tế · Năm 1977

Đề thi

Bài 1Trong hình vuông $ABCD$ , dựng các tam giác đều $ABK$ , $BCL$ , $CDM$ và $DAN$ ở phía trong. Chứng minh các trung điểm của $KL,LM,MN,NK$ và của $AK,BK,BL,CL,CM,DM,DN,AN$ là mười hai đỉnh của một thập nhị giác đều.Các cách giải: 1
Bài 2Trong một dãy hữu hạn các số thực, tổng của mọi bảy số liên tiếp âm và tổng của mọi mười một số liên tiếp dương. Tìm số lượng phần tử lớn nhất.Các cách giải: 1
Bài 3Cho $n>2$ và $V_n=\{1+kn:k=1,2,\ldots\}$ . Một phần tử của $V_n$ là không phân rã nếu nó không là tích của hai phần tử thuộc $V_n$ . Chứng minh có phần tử của $V_n$ có hai cách phân tích khác nhau thành các phần tử không phân rã, không kể thứ tự.Các cách giải: 1
Bài 4Cho $f(\theta)=1-a\cos\theta-b\sin\theta-A\cos2\theta-B\sin2\theta$ , trong đó $a,b,A,B$ là số thực. Chứng minh rằng nếu $f(\theta)\ge0$ với mọi $\theta$ thực thì $a^2+b^2\le2$ và $A^2+B^2\le1$ .Các cách giải: 1
Bài 5Cho $a,b$ là các số nguyên dương. Khi chia $a^2+b^2$ cho $a+b$ , ta được thương $q$ và dư $r$ . Tìm mọi cặp $(a,b)$ sao cho $q^2+r=1977$ .Các cách giải: 1
Bài 6Cho $f:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}$ . Chứng minh rằng nếu $f(n+1)>f(f(n))$ với mọi số nguyên dương $n$ thì $f(n)=n$ với mọi $n$ .Các cách giải: 1