MathLabs

Bài 6

Cho f:Z>0→Z>0f:\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}. Chứng minh rằng nếu f(n+1)>f(f(n))f(n+1)>f(f(n)) với mọi số nguyên dương nn thì f(n)=nf(n)=n với mọi nn.
Bước 4 trên 5: Dùng bất đẳng thức ban đầu
Bước trướcBước tiếp
Hiểu nôm na

Nếu giá trị vượt đường chéo, tính tăng nghiêm ngặt sẽ mâu thuẫn với bất đẳng thức đề bài.

f(m)≥m+1⟹f(f(m))≥f(m+1)f(m)\ge m+1\Longrightarrow f(f(m))\ge f(m+1)
Phân tích chi tiết

Nếu f(m)≥m+1f(m)\ge m+1, tính tăng nghiêm ngặt cho f(f(m))≥f(m+1)f(f(m))\ge f(m+1). Nhưng giả thiết nói f(m+1)>f(f(m))f(m+1)>f(f(m)), mâu thuẫn. Do đó f(m)≤mf(m)\le m.