第6問

正八角形の対頂点を A,E とする。蛙は A から出発し、E に着くまで隣接頂点へ跳ぶ。ちょうど n 回で E に着く道の数を a_n とすると、

a_{2n-1}=0

および

a_{2n}=\frac{(2+\sqrt{2})^{n-1}-(2-\sqrt{2})^{n-1}}{\sqrt{2}}

（

n=1,2,3,\ldots

）を証明せよ。

ステップ 4/5: 第4段階

r^2-4r+2=0,\quad r=2\pm\sqrt2

詳しい解説

特性方程式は $r^2-4r+2=0$ で、その根は $2\pm\sqrt2$ である。したがって $u_n=C(2+\sqrt2)^{n-1}+D(2-\sqrt2)^{n-1}$ 。